PRESENTAZIONE

L'insegnamento si propone di fornire le conoscenze di base dell'Analisi Matematica quali il calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile che sono essenziali per la comprensione degli argomenti trattati negli insegnamenti  successivi.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo dell'insegnamento è la conoscenza di strumenti basilari dell'Analisi Matematica utili nella modellizzazione di fenomeni fisici, la capacità di impostare e risolvere problemi con metodo intuitivo e deduttivo e di riconoscere ed utilizzare gli opportuni strumenti matematici nella risoluzione di problemi in ambito fisico. Al termine dell’insegnamento lo studente sarà in grado di: 1. Enunciare i concetti (teoremi, definizioni) argomento dell'insegnamento (es.: Estremo superiore e inferiore di un insieme, il concetto di continuità e derivata di una funzione) 2. Interpretare fisicamente e geometricamente i concetti basilari dell’analisi matematica 3. Impostare la risoluzione di problemi con approccio intuitivo 4. Selezionare gli opportuni strumenti matematici da impiegare nella risoluzione di problemi 5. Risolvere problemi con approccio deduttivo. L'insegnamento fornisce inoltre agli studenti le conoscenze di base dell'analisi matematica relative alla teoria delle funzioni reali di una variabile reale.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo dell'insegnamento è la conoscenza di strumenti basilari dell'Analisi Matematica utili nella modelllizzazione di fenomeni fisici, la a capacità di impostare e risolvere problemi con metodo intuitivo e deduttivo e di riconoscere ed utilizzare gli opportuni strumenti matematici nella risoluzione di problemi in ambito fisico.

Al termine dell’insegnamento lo studente sarà in grado di:

1. Enunciare i concetti (teoremi, definizioni) argomento del corso (es.: Estremo superiore e inferiore di un insieme, lo studio delle proprietà locali delle funzioni reali di una variabile reale).

2. Interpretare fisicamente e geometricamente i concetti basilari dell’analisi matematica.

3. Impostare la risoluzione di problemi con approccio intuitivo.

4. Selezionare gli opportuni strumenti matematici da impiegare nella risoluzione di problemi.

5. Risolvere problemi con approccio deduttivo.
 

PREREQUISITI

Algebra elementare, trigonometria e cenni di geometria analitica nel piano.

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento consiste di 90 ore tra lezioni ed esercitazioni. Durante le lezioni vengono presentati gli argomenti del programma dell'insegnamento con definizioni e teoremi ed alcune dimostrazioni, utili per la comprensione degli argomenti e per  sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ciascun argomento teorico viene corredato da facili esempi e qualche esercizio. Le ore di esercitazione sono dedicate allo svolgimento di esercizi il cui scopo è approfondire la conoscenza da parte dello studente dell'argomento teorico trattato e prepararlo alla prova di esame. 

Lo studente potrà avvalersi del materiale messo a disposizione su Aulaweb.

Si consiglia agli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente e il referente di Ateneo all’inizio delle lezioni per concordare modalità didattiche che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali.

PROGRAMMA/CONTENUTO

I numeri reali e la retta reale. Coordinate cartesiane nel piano. Successioni: concetti ed esempi elementari.

Funzioni reali di una variabile reale: dominio e codominio di una funzione, funzioni elementari e loro inverse, funzioni composte, funzioni invertibili; funzioni monotone.

Limiti di funzioni: definizione di limite, limiti finiti ed infiniti, limiti all’infinito, limiti notevoli.

Continuità delle funzioni: definizione di continuità, vari tipi di discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue.

Teorema dei valori intermedi.

Teorema degli zeri e Teorema di Weirstrass.

Derivazione delle funzioni: definizione di derivata e relativo significato geometrico; regole di derivazione: derivata della somma, del prodotto del rapporto di funzioni; derivata delle funzioni inverse e delle funzioni composte. e la monotonia delle funzioni; derivata seconda e concavità ,convessità e punti di flesso. Teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Legame tra segno della derivata e la monotonia delle funzioni; derivata seconda e concavità ,convessità e punti di flesso.

Teorema di De L’Hopital.

Studio del grafico di una funzione: dominio, limiti, asintoti, massimi e minimi relativi ed assoluti, concavità.

Polinomio di Taylor: polinomio di Taylor di ordine n con resto di Peano e Lagrange; sviluppo di Maclaurin delle funzioni: sin x, cos x, arctg x, esponenziale, log(1+x); applicazioni al calcolo di approssimazioni e calcolo di limiti.

Primitive. Integrale di Riemann. Teorema della media, Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale. Formule di integrazione.  Funzioni integrali. Integrali impropri. Equazioni differenziali ordinarie . Equazioni del primo ordine in forma normale. Problema di Cauchy : Teorema di esistenza ed unicita` (locale) e metodi di risoluzione in alcuni casi speciali ; equazioni a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari ordinarie. struttura dell’insieme delle soluzioni nel caso omogeneo e nel caso non omogeneo. Metodo di soluzione per equazioni lineari a coefficienti costanti.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Teoria

T. Zolezzi : Dispense di analisi matematica I.
C. Canuto – A. Tabacco : Analisi Matematica 1. Teoria ed esercizi. Unitext, Springer – Verlag. 2014
F. Parodi – T. Zolezzi : Appunti di analisi matematica. ECIG, 2002
R. Adams : Calcolo differenziale I. Funzioni di una variabile reale. Casa ed. Ambrosiana, 1992.

Esercizi

M. Baronti – F. De Mari – R. van der Putten – I. Venturi : Calculus Problems. Springer 2016
M. Pavone: Temi svolti di analisi matematica I.
Marcellini-Sbordone : Esercitazioni di matematica, I volume
S. Salsa – A. Squellati : Esercizi di Matematica, volume 1.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Le lezioni inizieranno giovedi 26 settembre 2025 alle ore 11.

L'orario delle lezioni si trova a https://corsi.unige.it/corsi/11976/studenti-orario

Orari delle lezioni

ANALISI MATEMATICA 1

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova scritta della durata di due / tre ore.  La prova scritta consiste in due esercizi a risposta aperta e durante l'esame scritto lo studente puo' consultare appunti e testi, utilizzare calcolatrici ma non puo' utilizzare computer portatili o smartphone.

Sono previste due prove in itinere durante il periodo di lezioni che, se superate, sono sostitutive della prova d'esame scritta.

Si consiglia agli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente e il referente di Ateneo almeno 15 giorni prima di ogni appello per concordare modalità d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali.

Per partecipare ad un appello d'esame occorre iscriversi entro la scadenza sul sito https://servizionline.unige.it/studenti/esami/prenotazione

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L’esame si pone l’obiettivo di verificare le competenze acquisite dallo studente e attese quali obiettivi formativi dell'insegnamento..  La prova scritta è costituita da esercizi che necessitano di scegliere ed applicare lo strumento matematico più adeguato per la sua risoluzione e richiedono la capacità, da parte dello studente, di costruire un concatenamento logico applicando in sequenza risultati teorici visti a lezione. Gli studenti dovranno risolvere gli esercizi proposti giustificando i passaggi significativi richiamando i teoremi e definizioni necessari e precisando l'interpretazione fisica e geometrica del problema.

La  valutazione finale tiene conto della qualita' dell'esposizione e la capacita' di ragionamento