PRESENTAZIONE

L'insegnamento si propone di fornire strumenti utili per risolvere le principali equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) attraverso l’analisi di varie applicazioni. L’enfasi è posta sulle PDE del secondo ordine, sulla comprensione delle tecniche specifiche per i casi ellittico, parabolico ed iperbolico, e sull'introduzione di sistemi discreti. Solo per gli studenti del corso di Ingegneria Civile - curriculum Strutture, il corso intende inoltre fornire conoscenze sui metodi numerici per la soluzione di problemi di Ingegneria, implementati utilizzando Matlab. 

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso si propone di introdurre lo studio delle più comuni equazioni alle derivate parziali (PDEs) e delle loro tecniche di soluzione attraverso l'analisi di diverse applicazioni. L'enfasi è posta sulle PDEs del secondo ordine e sulla comprensione delle particolari tecniche analitiche per la risoluzione dei casi ellittici, parabolici e iperbolici. Il corso fornisce inoltre gli strumenti per risolvere problemi applicativi con metodi numerici implementati attraverso l'uso di Matlab.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

La partecipazione attiva alle lezioni frontali e lo studio individuale permetteranno allo studente di:

• saper classificare le principali equazioni alle derivate parziali;
• calcolare la soluzione analitica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico;
• utilizzare le tecniche di separazione di variabili, serie e la trasformata di Fourier, funzioni speciali.

Solo per gli studenti del corso di Ingegneria Civile - curriculum Strutture

• scegliere il metodo numerico più adatto per risolvere alcuni problemi che richiedono una risoluzione numerica;
• comprendere perché possono apparire delle instabilità numeriche o la mancanza di convergenza e come evitare tali difficoltà;
• implementare tali metodi utilizzando Matlab, il software di calcolo scientifico più utilizzato nel mondo;
• essere in grado di utilizzare funzioni di Matlab diverse da quelle viste durante il corso e fare il debug del codice.

PREREQUISITI

Conoscenze preliminari di analisi

Conoscenze preliminari di algebra lineare (matrici, autovalori, autovettori)

Conosocenze preliminari di teoria delle ODE e PDE

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento è basato su lezioni teoriche, affiancate per la parte di metodi numerici (Solo per gli studenti del corso di Ingegneria Civile - curriculum Strutture), da esercitazioni con l'utilizzazione di Matlab. Si consigliano gli studenti lavoratori e gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali.

PROGRAMMA/CONTENUTO

I principali argomenti trattati sono qui di seguito elencati (i punti 1-10 fanno parte del programma comune a tutti gli sutdenti, i punti 11-15 fanno parte del programma per gli studenti che utilizzano l'insegnamento per 8 crediti):

1. Analisi di fenomeni e motivazioni che portano allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali. La fune elastica e la transizione dai sistemi discreti ai sistemi continui.

2. Le equazioni differenziali del secondo ordine. La classificazione e la forma normale. Equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

3. Equazioni ellittiche. Proprietà delle funzioni armoniche; i problemi di Dirichlet e di Neumann, la formula di Poisson per il cerchio.

4. Le tecniche generali di soluzione separazione di variabili; la serie e la trasformata di Fourier; l'effetto Gibbs; l'analisi in modi normali; la “funzione” delta di Dirac; i casi bi-tridimensionale.

5. Le funzioni speciali: le funzioni di Bessel J,Y, I, K; le serie di Fourier Bessel e di Dini; le trasformate di Fourier in coordinate polari: la trasformata di Hankel . Applicazioni ai problemi in coordinate polari.

6. Le equazioni differenziali paraboliche; l'equazione della diffusione e del calore; descrizioni nel dominio dello spazio e del tempo; nucleo del calore.

7. Le equazioni di tipo iperbolico: l’equazione di D'Alembert, il metodo delle caratteristiche, la membrana elastica, l’interpretazione meccanico-dinamica dei modi normali; il problema di Cauchy e il dominio futuro di dipendenza.

8. PDE di ordine superiore: l'equazione biarmonica; il relativo problema di Cauchy.

9. Le equazioni non omogenee: le sorgenti distribuite e puntiformi; la funzione di Green e la sua interpretazione sistemistica come funzione di trasferimento; la descrizione con la funzione delta di Dirac.

10. Sistemi discreti e equazioni di ricorrenza

Solo per gli studenti del corso di Ingegneria Civile - curriculum Strutture

11. I metodi numerici per la risoluzione di equazioni e sistemi non lineari.

12. L'interpolazione polinomiale, data fitting, metodo dei minimi quadrati.

13. La risoluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.

14. I metodi numerici per l’ottimizzazione vincolata e non vincolata.

15. Il metodo differenze finite per risolvere equazioni alle derivate parziali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Gli appunti presi durante le lezioni ed il materiale fornito (dispense della parte teorica e tutorial di Matlab) sono sufficienti per la preparazione dell’esame. I libri sotto indicati sono suggeriti come eventuali testi di appoggio ed approfondimento.

• A.N.Tichonov, A.A.Samarskij: Equazioni della Fisica matematica, Problemi della fisica matematica, Mosca,1982;
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Phisics vol I e II, Interscience, NY, 1973;
• R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, New York: McGraw-Hill, 1999;
• P. V. O’ Neil, Advanced engineering mathematica, Brooks Cole, 2003;
• H. Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna, 1985;
• V. I. Smirnov. Corso di Matematica superiore, Vol. 3. MIR (1978).
• Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, Sprinter-Verlag 2006.
• Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer-Verlag 2008.
• S. Chapra, R. Canale, Numerical methods for Engineers, McGraw-Hill, 2018

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

https://corsi.unige.it/corsi/10799/studenti-orario

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame è composto da una prova scritta per tutti più un orale per i soli studenti di Ingegneria Civile - curriculum Strutture. La prova scritta consiste tipicamente in cinque problemi per verificare l'apprendimento dei contenuti teorici dell'insegnamento. La prova orale consiste in domande sulla parte numerica. Il voto finale è la media delle due parti, arrotondata per eccesso.

Gli studenti che hanno una certificazione di disabilità fisica o di apprendimento in corso di validità e che desiderano discutere possibili circostanze relative a lezioni ed esami, devono parlare con il docente.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame verifica la capacità dello studente di scrivere le equazioni che modellano fenomeni semplici, di impostare la soluzione, di analizzare gli aspetti qualitativi salienti e di identificare i metodi numerici più attinenti.

ALTRE INFORMAZIONI

Rivolgersi al docente per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento