PRESENTAZIONE

L'insegnamento si propone di fornire strumenti utili per risolvere le principali equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) attraverso l’analisi di varie applicazioni. L’enfasi è posta sulle PDE del secondo ordine, sulla comprensione delle tecniche specifiche per i casi ellittico, parabolico ed iperbolico, e sull'introduzione di sistemi discreti. Il corso intende intende inoltre fornire allo studente conoscenze sui metodi numerici per la soluzione di problemi di Ingegneria Civile, implementati utilizzando Matlab. 

The module aims to present the most common tools for solving partial differential equations (PDEs) through the analysis of various applications. Emphasis is placed on second-order PDEs, on understanding specific techniques for the elliptic, parabolic, and hyperbolic cases, and on the introduction to discrete systems. The module also aims to provide students with knowledge of numerical methods for solving Civil Engineering problems, implemented using Matlab.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso si propone di introdurre lo studio delle più comuni equazioni alle derivate parziali (PDEs) e delle loro tecniche di soluzione attraverso l'analisi di diverse applicazioni. L'enfasi è posta sulle PDEs del secondo ordine e sulla comprensione delle particolari tecniche analitiche per la risoluzione dei casi ellittici, parabolici e iperbolici. Il corso fornisce inoltre gli strumenti per risolvere problemi applicativi con metodi numerici implementati attraverso l'uso di Matlab.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

La partecipazione attiva alle lezioni frontali e lo studio individuale permetteranno allo studente di:

• saper classificare le principali equazioni alle derivate parziali;
• calcolare la soluzione analitica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico;
• utilizzare le tecniche di separazione di variabili, serie e la trasformata di Fourier, funzioni speciali.
• scegliere il metodo numerico più adatto per risolvere alcuni problemi che richiedono una risoluzione numerica;
• comprendere perché possono apparire delle instabilità numeriche o la mancanza di convergenza e come evitare tali difficoltà;
• implementare tali metodi utilizzando Matlab, il software di calcolo scientifico più utilizzato nel mondo;
• essere in grado di utilizzare funzioni di Matlab diverse da quelle viste durante il corso e fare il debug del codice.

Active participation in lectures and individual study will enable students to:
- Classify the main types of partial differential equations.

- Calculate the analytical solutions of elliptic, parabolic, and hyperbolic partial differential equations.

- Apply techniques such as separation of variables, series expansion, and Fourier transforms, as well as special functions.

- Select the most appropriate numerical methods for solving problems requiring numerical resolution.

- Understand and mitigate numerical instabilities or lack of convergence.

- Implement these methods using Matlab, the world's most widely used scientific computing software.

- Utilize Matlab functions beyond those covered in the course and debug code effectively.

PREREQUISITI

Conoscenze preliminari di analisi

Conoscenze preliminari di algebra lineare (matrici, autovalori, autovettori)

Conosocenze preliminari di teoria delle ODE e PDE

Basics of Calculus (suggested)

Basics of Linear Algebra (Matrices, Eigenvalues, Eigenvectors - suggested)
Basics of ODE and PDE theory (suggested)

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento è basato su lezioni teoriche, affiancate per la parte di metodi numerici, da esercitazioni con l'utilizzazione di Matlab. Si consigliano gli studenti lavoratori e gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali.

The module is based on theoretical lectures, supported for the part of numerical methods by exercises with the use of Matlab.
Working students and students with DSA certification, disabilities or other special educational needs are advised to contact the lecturer at the beginning of the course to agree on teaching and exam methods which, in compliance with the teaching objectives, take into account  individual learning methods.

PROGRAMMA/CONTENUTO

I principali argomenti trattati sono qui di seguito elencati (i punti 1-10 fanno parte del programma comune a tutti gli sutdenti, i punti 11-15 fanno parte del programma per gli studenti che utilizzano l'insegnamento per 8 crediti):

1. Analisi di fenomeni e motivazioni che portano allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali. La fune elastica e la transizione dai sistemi discreti ai sistemi continui.

2. Le equazioni differenziali del secondo ordine. La classificazione e la forma normale. Equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

3. Equazioni ellittiche. Proprietà delle funzioni armoniche; i problemi di Dirichlet e di Neumann, la formula di Poisson per il cerchio.

4. Le tecniche generali di soluzione separazione di variabili; la serie e la trasformata di Fourier; l'effetto Gibbs; l'analisi in modi normali; la “funzione” delta di Dirac; i casi bi-tridimensionale.

5. Le funzioni speciali: le funzioni di Bessel J,Y, I, K; le serie di Fourier Bessel e di Dini; le trasformate di Fourier in coordinate polari: la trasformata di Hankel . Applicazioni ai problemi in coordinate polari.

6. Le equazioni differenziali paraboliche; l'equazione della diffusione e del calore; descrizioni nel dominio dello spazio e del tempo; nucleo del calore.

7. Le equazioni di tipo iperbolico: l’equazione di D'Alembert, il metodo delle caratteristiche, la membrana elastica, l’interpretazione meccanico-dinamica dei modi normali; il problema di Cauchy e il dominio futuro di dipendenza.

8. PDE di ordine superiore: l'equazione biarmonica; il relativo problema di Cauchy.

9. Le equazioni non omogenee: le sorgenti distribuite e puntiformi; la funzione di Green e la sua interpretazione sistemistica come funzione di trasferimento; la descrizione con la funzione delta di Dirac.

10. Sistemi discreti e equazioni di ricorrenza

11. I metodi numerici per la risoluzione di equazioni e sistemi non lineari.

12. L'interpolazione polinomiale, data fitting, metodo dei minimi quadrati.

13. La risoluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.

14. I metodi numerici per l’ottimizzazione vincolata e non vincolata.

15. Il metodo differenze finite per risolvere equazioni alle derivate parziali.

The main topics covered are listed below (Points 1–10 are part of the core syllabus for all students, while points 11–15 are included in the extended syllabus for students taking the course for 8 credits.):

1. Analysis of phenomena and motivations leading to the study of partial differential equations. The elastic string and the transition from discrete to continuous systems.

2. Second-order differential equations. Classification and normal form. Elliptic, hyperbolic, and parabolic equations.

3. Elliptic equations. Properties of harmonic functions; Dirichlet and Neumann problems; Poisson’s formula for the circle.

4. General solution techniques: separation of variables; Fourier series and transform; Gibbs phenomenon; normal mode analysis; the Dirac delta "function"; bi- and three-dimensional cases.

5. Special functions: Bessel functions J, Y, I, K; Fourier-Bessel and Dini series; Fourier transforms in polar coordinates: the Hankel transform. Applications to problems in polar coordinates.

6. Parabolic differential equations; the diffusion and heat equations; descriptions in space and time domains; the heat kernel.

7. Hyperbolic equations: D'Alembert's equation, method of characteristics, the elastic membrane, mechanical-dynamic interpretation of normal modes; the Cauchy problem and the future domain of dependence.

8. Higher-order PDEs: the biharmonic equation; the related Cauchy problem.

9. Non-homogeneous equations: distributed and point sources; the Green's function and its interpretation as a system transfer function; description using the Dirac delta function.

10. Discrete systems and difference equations.

11. Numerical methods for solving nonlinear equations and systems.

12. Polynomial interpolation, data fitting, least squares method.

13. Numerical solution of systems of ordinary differential equations.

14. Numerical methods for constrained and unconstrained optimization.

15. The finite difference method for solving partial differential equations.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Gli appunti presi durante le lezioni ed il materiale fornito (dispense della parte teorica e tutorial di Matlab) sono sufficienti per la preparazione dell’esame. I libri sotto indicati sono suggeriti come eventuali testi di appoggio ed approfondimento.

• A.N.Tichonov, A.A.Samarskij: Equazioni della Fisica matematica, Problemi della fisica matematica, Mosca,1982;
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Phisics vol I e II, Interscience, NY, 1973;
• R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, New York: McGraw-Hill, 1999;
• P. V. O’ Neil, Advanced engineering mathematica, Brooks Cole, 2003;
• H. Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna, 1985;
• V. I. Smirnov. Corso di Matematica superiore, Vol. 3. MIR (1978).
• Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, Sprinter-Verlag 2006.
• Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer-Verlag 2008.
• S. Chapra, R. Canale, Numerical methods for Engineers, McGraw-Hill, 2018

The notes taken during the lessons and the material provided (notes of the theoretical part and tutorial of Matlab) are sufficient for the preparation of the exam. The books listed below are suggested as possible support texts and in-depth study.
* A.N.Tichonov, A.A.Samarskij: Equazioni della Fisica matematica, Problemi della fisica matematica, Mosca,1982;
* R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Phisics vol I e II, Interscience, NY, 1973;
* R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, New York: McGraw-Hill, 1999;
* P. V. O’ Neil, Advanced engineering mathematica, Brooks Cole, 2003;
* H. Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna, 1985;
* V. I. Smirnov. Corso di Matematica superiore, Vol. 3. MIR (1978).
* Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, Sprinter-Verlag 2006.
* Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer-Verlag 2008.
* S. Chapra, R. Canale, Numerical methods for Engineers, McGraw-Hill, 2018.

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

https://corsi.unige.it/corsi/10799/studenti-orario

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame è composto da due parti: una prova scritta e un orale. La prova scritta consiste tipicamente in cinque problemi per verificare l'apprendimento dei contenuti teorici dell'insegnamento. La prova orale consiste in domande sulla parte numerica. Il voto finale è la media delle due parti, arrotondata per eccesso.

Gli studenti che hanno una certificazione di disabilità fisica o di apprendimento in corso di validità e che desiderano discutere possibili circostanze relative a lezioni ed esami, devono parlare con il docente.

The exam consists of two parts: a written test and an oral exam. The written test typically includes five problems aimed at assessing the student's understanding of the theoretical content of the course. The oral exam consists of questions related to the numerical part. The final grade is the average of the two parts, rounded up.

Students with a valid certification of physical or learning disabilities who wish to discuss possible accommodations regarding lectures and exams must speak with the instructor.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame verifica la capacità dello studente di scrivere le equazioni che modellano fenomeni semplici, di impostare la soluzione, di analizzare gli aspetti qualitativi salienti e di identificare i metodi numerici più attinenti.

The exam assesses the student's ability to formulate equations that model simple phenomena, to set up their solution, to analyze key qualitative aspects, and to identify the most appropriate numerical methods.

ALTRE INFORMAZIONI

Rivolgersi al docente per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento

Contact the instructor for further information not included in the module syllabus