PRESENTAZIONE

In questo insegnamento acquisirai i fondamenti dell'analisi matematica,  dedicato allo studio rigoroso del calcolo differenziale e integrale delle funzioni reali di una variabile reale. Attraverso un approccio rigoroso, imparerai non solo a utilizzare le tecniche di derivazione e integrazione, ma anche a comprenderne i fondamenti teorici, a costruire dimostrazioni e a ragionare con precisione formale. Particolare attenzione sarà dedicata ai teoremi fondamentali dell'analisi. Nella parte conclusiva del corso saranno introdotte le funzioni reali di più variabili reali: un primo passo verso un mondo matematicamente più ricco e complesso, che aprirà la strada agli insegnamenti successivi, quali Analisi Matematica 2. 

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo di questo insegnamento è quello di introdurre al trattamento rigoroso dell'analisi matematica, sviluppando contemporaneamente i metodi del calcolo differenziale e integrale nel contesto delle funzioni reali di una variabile reale, con l'obiettivo di acquisire rigore logico, di pervenire ad una buona padronanza di calcolo e di conoscere le principali tecniche dimostrative

PREREQUISITI

Conoscenze matematiche fornite dalla scuola superiore. 

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Numeri reali. Gli assiomi di corpo ordinato. Il valore assoluto. I numeri naturali e gli interi. I numeri razionali e la loro rappresentazione geometrica. L'assioma di completezza e le sue conseguenze. La retta reale. Archimedeità dei reali. Allineamenti decimali.
2. Funzioni. Relazioni, funzioni, dominio, codominio, immagine e grafico di funzioni. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili. Operazioni su funzioni reali. Funzioni monotone. Polinomi e funzioni razionali. Altre funzioni elementari. Le funzioni trigonometriche. La funzione esponenziale nel corpo razionale. 
3. Limiti. Proprietà metriche e topologiche di R. Definizione di continuità. Operazioni con funzioni continue. Limiti e loro proprietà. Operazioni sui limiti. Teoremi del confronto. Limite di funzioni monotone. Limiti di funzione composte e cambiamenti di variabili. Successioni e loro limiti. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy. Uso delle successioni nello studio dei limiti. Limiti di successioni definite per ricorrenza. Il numero e di Nepero.
4. Proprietà globali delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Continuità e monotonia. Continuità dell'inversa. Continuità uniforme. Il teorema di Heine Cantor. La funzione esponenziale nel corpo reale.
5. Calcolo differenziale, I. La derivata: definizione e prime proprietà. Differenziabilità. Proprietà algebriche del differenziale. Derivazione di funzioni composte e della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. I teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy e le loro conseguenze. Teorema de l'Hopital. Confronto locale tra funzioni. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor. Studio delle proprietà di monotonia e di convessità di una funzione attraverso i segni delle derivate. Funzioni convesse.
6. L'integrale indefinito. Regole di integrazione. Integrazione di alcune funzioni elementari. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. 
7. L'integrale definito secondo Riemann. Proprietà dell'integrale. Integrabilità di funzioni continue e di funzioni monotone. Integrali orientati. Teorema delle media integrale. Relazioni tra calcolo differenziale e calcolo integrale: funzioni integrali, il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri. Criteri di convergenza. 
8. Serie geometriche, telescopiche. Convergenza.Serie numeriche a termini non negativi: criterio del confronto, della radice e del rapporto; criterio di condensazione, dell’ordine e criterio integrale. Serie a segni alterni. Teorema di Leibniz.
9. Calcolo differenziale di funzioni di più variabili. Funzioni continue e differenziabili. Gradiene e matrice Hessiana. Studio di estremi relativi per funzioni definite su  aperti. Cenno allo studio du  estremi relativi e assoluti per funzioni vincolate su curve in forma parametrica. 

TESTI/BIBLIOGRAFIA

A.Bacciotti, F.Ricci - Analisi Matematica I - Liguori Editore

M. Baronti, F. De Mari, R. van der Putten, I. Venturi - Calculus Problems, Springer, 2016

Altri testi suggeriti verrano segnalati sulla pagina AULAWEB dell'insegnamento

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame prevede una prova scritta e una orale.

Prova scritta: saranno presenti tre/quattro esercizi sugli argomenti del programma.

1.  Nel corso dell’anno si svolgono due prove scritte intermedie. Puoi accedere alla seconda prova, se nella prima hai riportato un voto maggiore o uguale di 15/30. Se  nella seconda prova hai riportato un voto maggiore o uguale di 15/30 e la media delle due votazioni è maggiore o uguale a 18/30, puoi accedere  alla prova orale.
2. Nelle sessioni d'esame sono previste 5 prove scritte.  Se   hai riportato un voto maggiore o uguale di 17/30 puoi accedere  alla prova orale.
3.  Puoi presentarti a tutti gli appelli, tuttavia se consegni la prova scritta, sono annullate le prove scritte consegnate in precedenza.

Prova orale. Durante la prova orale, la commissione interroga sull’intero programma. In particolare, verrà valutata la conoscenza delle definizioni dei concetti principali, e degli enunciati e dimostrazioni dei risultati più importanti, e verrà verificata la capacità di svolgere esercizi. Sono previsti cinque appelli orali.  Puoi svolgere la prova orale anche in un appello diverso da quello della prova scritta. 

Per le persone con DSA si vede la voce Altre Informazioni.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova scritta consiste nella risoluzione di tre o quattro esercizi strutturati con quesiti a difficoltà crescente, relativi agli argomenti trattati durante le lezioni teoriche. Le tipologie di esercizi proposti sono state oggetto di approfondimento e discussione durante le sessioni esercitative.

Nella prima parte di ciascun esercizio, i quesiti mirano a verificare:

• la conoscenza dei concetti fondamentali dell'analisi

• la padronanza delle tecniche di calcolo di base.

Il corretto svolgimento di questa sezione consente di raggiungere la sufficienza.

La seconda parte dei quesiti valuta:

• la capacità di analisi critica e autonoma;

• l'applicazione di risultati avanzati nella risoluzione dei quesiti

Il superamento di questa sezione permette di ottenere la valutazione massima.

Prova orale 

Valuta la capacità di

1. esporre con chiarezza i concetti fondamentali del corso;

2. presentare in modo rigoroso gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi principali;

3. risolvere eventuali esercizi supplementari proposti per verificare la padronanza delle tecniche di calcolo. 

Valutazione finale
Il giudizio complessivo:

• considera in misura significativa l'esito della prova scritta;

• viene integrato con l'esito della prova orale, che può determinare un innalzamentoo un abbassamento del voto conseguito nello scritto.

ALTRE INFORMAZIONI

Le misure dispensative e gli strumenti compensativi servono a mettere gli studenti in condizione di raggiungere gli stessi obiettivi di apprendimento dei compagni di studio, non a facilitare l'esame. L’utilizzo di strumenti compensativi e l’applicazione di misure dispensative devono essere preventivamente autorizzati dal docente titolare dell'insegnamento in accordo con il Referente per DSA della Scuola di Scienze, Referente per l'inclusione: Sergio Di Domizio - sergio.didomizio@unige.it

Per usufruire degli adattamenti in sede di esame occorre compilare il modulo per la richiesta di adattamenti disponbile su questa pagina dei servizionline, cui si può accedere utilizzando le credenziali UniGePass. La richiesta verrà inviata automaticamente dal sistema al docente titolare dell’insegnamento, al Referente della tua Scuola/Area/Dipartimento e in copia conoscenza al Settore; ricevendo una copia della richiesta inviata sulla propria e-mail di Ateneo. 
Gli adattamenti di cui gli studenti possono usufruire sono i seguenti:
    • Tempo aggiuntivo (+30% DSA)
    • Tempo aggiuntivo (+50% disabilità/invalidità)
    • Tempo aggiuntivo durante le prove orali per organizzare la risposta
    • Calcolatrice (non sono ammesse calcolatrici programmabili e grafiche)
    • Mappe concettuali
    • Tabelle e/o Formulari
    • Sostenere l'esame in forma scritta
    • Sostenere l'esame in forma orale
    • Tutor lettore (solo per prove scritte)
    • Tutor scrittore (solo per prove scritte)

La richiesta di adattamenti deve essere inoltrata tassativamente almeno 7 giorni lavorativi prima della data prevista per l’esame.
Ulteriori informazioni a questo link.