OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo del corso è presentare agli studenti gli elementi di base dell' algebra lineare, e della geometria affine ed euclidea. Tali argomenti fanno parte dei fondamenti dello studio della matematica moderna e verranno utilizzati in tutti i corsi successivi. Obiettivo non secondario, inoltre, è mostrare agli studenti una teoria che è fortemente motivata da problemi concreti, e che si può trattare in maniera esauriente e rigorosa.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo di questo insegnamento è consolidare le tecniche già apprese nel precedente modulo dello stesso insegnamento. In particolare l'obiettivo dell'insegnamento è introdurre:

1. Spazi caratteristici, Lemma dei nuclei e Teorema di Cayley-Hamilton; endomorfismi nilpotenti e loro triangolazione mediante completamento delle basi delle potenze successive dei nuclei e mediante la decomposizione di Jordan; triangolazione di endomorfismi in generale.
2. Applicazioni bilineari: spazio vettoriale duale, base duale, applicazione lineare trasposta; forme e applicazioni bilineari e proprietà, matrice di una forma bilineare e proprietà (forme bilineari simmetriche, forme bilineari non degeneri), congruenza di matrici. Carattere di definizione di una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale reale, spazi vettoriali euclidei, norme e angoli, ortogonalità, proiezioni ortogonali; basi ortonormali teorema di Gram-Schmidt, complemento ortogonale di un sottospazio.
3. Endomorfismi tra spazi vettoriali euclidei: isometrie e loro caratterizzazioni, matrici ortogonali e ortogonali speciali, proprietà, descrizione delle isometrie del piano; endomorfismi autoaggiunti e loro caratterizzazioni, matrici simmetriche, teorema spettrale reale, diagonalizzazione di endomorfismi autoaggiunti mediante basi ortonormali. Segnatura di una matrice simmetrica reale, teorema di inerzia di Sylvester.
4. Coniche e quadriche: definizione di quadrica, matrice associata ad una quadrica e matrice della forma quadratica. Classificazione delle quadriche mediante trasformazioni affini, proprietà geometriche di coniche e quadriche, fasci di coniche.
5. Spazi affini e proiettivi: definizione di spazio affine su un campo, e di spazio affine euclideo, e loro proprietà. Rette, piani, iperpiani in uno spazio affine, i cinque postulati di Euclide; trasformazioni affini, sistemi di coordinate e cambiamenti di coordinate. Spazi proiettivi: motivazioni, modelli degli spazi proiettivi. Rette, piani, iperpiani in uno spazio proiettivo, il quinto postulato di Euclide non vale in geometria proiettiva. Coordinate omogenee, equazioni di rette e piani, carte affini, punti all'infinito. Proiettività: definizione, proprietà, caratterizzazione di punti fissi, rette fisse, rette di punti fissi mediante l'uso dell'algebra lineare.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di:

1. Determinare la forma canonica di Jordan per un endomorfismo.
2. Lavorare con forme bilineari e prodotti scalari.
3. Classificare coniche e quadriche proiettive e affini. 
4. Risolvere problemi nel'ambito della Geometria euclidea/proiettiva in più dimensioni.

MODALITA' DIDATTICHE

Lezione frontale e tutorato. 

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Forma canonica di Jordan di un omomorfismo.

2. Prodotto scalare, spazi vettoriali euclidei, Gram-Schmidt: ortogonalizzazione. Isometrie. Proiezioni ortogonali. 

3. Diagonalizzazione delle matrici simmetriche reali. 

4. Geometria analitica in R^2 e R^3: vettori liberi e vettori applicati, prodotto scalare, vettoriale e prodotto misto, sistemi di coordinate, piani e rette nel piano e nello spazio. Accenni a curve e superfici.

5. Forme quadratiche reali. Classificazione affine delle coniche e delle quadriche.

6. (solo per i Corsi di Matematica e SMID) Spazio affine e spazio proiettivo. Piano proiettivo e retta proiettiva reale. Affinita' e proiettivita'. Classificazione proiettiva delle coniche.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

A. Bernardi, A. Gimigliano: Algebra Lineare e Geometria Analitica, Città Studi Edizioni.

E. Sernesi: Geometria vol. 1, Bollati-Boringhieri.

D. Gallarati: Appunti di Geometria, Di Stefano Editore-Genova.

F. Odetti, M. Raimondo: Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG Universitas.

M. Abate: Algebra Lineare, McGraw-Hill.

C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati-Boringhieri

S. Axler, Linear Algebra Done Right, https://linear.axler.net/

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 23 febbraio 2026.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una parte scritta ed una orale.
L'esame scritto è superato se lo studente ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 18. Per partecipare alla prova scritta occorre iscriversi almeno due giorni prima della data dell'esame sul sito: https://servizionline.unige.it/studenti/esami/prenotazione. 

Durante il corso dell'anno si terranno anche due compitini (uno alla fine del primo semestre e uno alla fine del secondo semestre), che se superati sostituiscono la prova scritta. Il primo compitino è superato se il voto è maggiore o uguale a 16. Al secondo compitino può partecipare solo chi ha superato il primo compitino. I compitini sono superati se il voto ottenuto in entrambi è maggiore o uguale a 16, e la media dei due è maggiore o uguale a 18.

Il voto finale è una media pesata dei risultati ottenuti nellla prova scritta e orale. 

Si consiglia gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Nella prova scritta viene richiesto allo studente di risolvere degli esercizi che riguardano tutto il programma del corso. La durata della prova è di tre ore. Gli studenti non possono consultare libri o appunti né utilizzare strumenti elettronici come calcolatrici, tablet, cellulari, smartwatch, ma viene consigliato di prepararsi un formulario con le formule e i risultati utili per lo svolgimento della prova. Per partecipare alla prova scritta è necessario iscriversi sul sito di UNIGE entro due giorni prima della data della prova. La prova scritta risulta sufficiente se ottiene una valutazione maggiore o uguale a 18/30. Solo in casi molto eccezionali la commissione d'esame si riserva la possibilità di abbassare tale soglia.

Sono previste due prove scritte intermedie che sostituiscono la prova scritta. La prima avverrà alla fine del primo semestre, e verrà richiesto di risolvere esercizi che riguardano tutto il programma del primo semestre del corso. La seconda avverrà alla fine del secondo semestre, e verrà richiesto di risolvere esercizi che riguardano tutto il programma del secondo semestre del corso. La durata delle singole prove è di tre ore. Gli studenti non possono consultare libri o appunti né utilizzare strumenti elettronici come calcolatrici, tablet, cellulari, smartwatch, ma viene consigliato di prepararsi un formulario con le formule e i risultati utili per lo svolgimento della prova. Per partecipare alle prove scritte intermedie è necessario iscriversi mediante appositi form di iscrizione presenti sulla pagina di AulaWeb del corso. La prima prova scritta intermedie risulta sufficiente se ottiene una valutazione maggiore o uguale a 16/30, ed è possibile partecipare alla seconda prova scritta intermedia solo se la prima è risultata sufficiente. Le due prove scritte intermedie si considerano superate, ed in questo caso sostituiscono la prova scritta, se entrambe hanno ottenuto una valutazione maggiore o uguale a 16/30, e la media delle due prove è maggiore o uguale a 18/30.

Nella prova orale,  si richiede algli sudenti di conoscere e di saper presentare le definizioni, gli enunciati e le dimostrazioni visti durante tutto il corso, di fornire esempi che illustrino le nozioni principali introdotte nel corso e di saper stabilire la verità o la falistà di affermazioni inerenti le nozioni principali del corso mediante l'uso di dimostrazioni o di controesempi. Per comprendere se lo studente è in grado di utilizzare gli strumenti dell'algebra lineare, verranno anche proposti degli esercizi. La prova orale deve essere sostenuta nell'appello della prova scritta, oppure negli appelli di giugno o di luglio per chi accede alla prova orale avendo superato le due prove scritte intermedie  Se la prova orale risulta insufficiente, evidenziando carenze fondamentali nella preparazione dello studente, la commissione si riserva di annullare anche la prova scritta.

ALTRE INFORMAZIONI

Strumenti compensativi e misure dispensative Disabilità/Invalidità/Disturbo Specifico dell'Apprendimento

Le misure dispensative e gli strumenti compensativi servono a mettere gli studenti in condizione di raggiungere gli stessi obiettivi di apprendimento dei compagni di studio, non a facilitare l'esame. L’utilizzo di strumenti compensativi e l’applicazione di misure dispensative devono essere preventivamente autorizzati dal Docente titolare dell'insegnamento in accordo con il Referente.

Per usufruire degli adattamenti in sede di esame compila il Modulo per la richiesta di adattamenti; la richiesta verrà inviata automaticamente dal sistema al docente titolare dell’insegnamento, al Referente della tua Scuola/Area/Dipartimento e in copia conoscenza al Settore; inoltre anche tu riceverai copia della richiesta inviata tramite e-mail.

Gli adattamenti di cui gli studenti possono usufruire sono i seguenti:

• Tempo aggiuntivo (+30% DSA)
• Tempo aggiuntivo (+50% disabilità/invalidità)
• Tempo aggiuntivo durante le prove orali per organizzare la risposta
• Calcolatrice (non sono ammesse calcolatrici programmabili e grafiche)
• Mappe concettuali
• Tabelle e/o Formulari
• Sostenere l'esame in forma scritta
• Sostenere l'esame in forma orale
• Tutor lettore (solo per prove scritte)
• Tutor scrittore (solo per prove scritte)

La tua richiesta di adattamenti deve essere inoltrata tassativamente almeno 7 giorni lavorativi prima della data prevista per l’esame.

Ulteriori informazioni al link: Servizi per studentesse e studenti con disabilità o con DSA | UniGe | Università di Genova

Referente per l'inclusione: Sergio Di Domizio - sergio.didomizio@unige.it