PRESENTAZIONE

Algebra 3 tratta delle nozioni di base dell'algebra commutativa e degli aspetti algoritmici e computazionali ad essi associati. In particolare viene presentata la nozione di anello e modulo Noetheriano, di algebra e successivamente vengono introdotte le basi di Groebner che vengono applicate per la risoluzione computazionale di problemi relativi agli oggetti polinomiali sia in maniera teorica che in laboratorio.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo dell’insegnamento è far apprendere i concetti di base dell'algebra commutativa ed gli aspetti computazionali  ad essi correlati.
In particolare vengono discusse le nozioni di anello Noetheriano, modulo, base di Groebner e si presentano alcuni  metodi risolutivi  dei    sistemi di equazioni polinomiali.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Algebra 3 si propone di fornire agli studenti le nozioni di base relative a:
1) Anelli e moduli Noetheriani
2) Algebre
3)  Basi di Groebner e loro utilizzo per il calcolo simbolico
4) Algoritmi relativi al calcolo ed uso delle basi di Groebner.

I risultati di apprendimento attesi sono:

1) Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono in grado di riconoscere un anello o un modulo Noetheriano e di illustrare le sue proprietà salienti anche attraverso la riproduzione delle principali dimostrazioni ad essi associate.

2) Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono in grado di risolvere esercizi relativi ad ideali, algebre e moduli con struttura particolare come per esempio gli ideali monomiali o i moduli sui PID.

3) Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono in grado di illustrare come l'utilizzo delle basi di Groebner consenta di risolvere algoritmicamente  problemi come l' appartenenza di un polinomio ad un ideale o al suo radicale,  il calcolo dell'intersezione fra ideali e delle loro sizigie, l'eliminazione di variabili e il calcolo di nuclei di omomorfismi di algebre.

4)  Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono  in grado di decidere algortimicamente se un sistema di equazioni polinomiali ha soluzioni e di descriverle per quanto possibile esplicitamente.  

5) Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono  in grado di programmare sistemi di calcolo simbolico come CoCoA5 per risolvere problemi computazionali concreti. 

PREREQUISITI

I prerequisiti riguardano la conoscenza delle strutture algebriche di base quali spazi vettoriali, gruppi ed anelli.

MODALITA' DIDATTICHE

L’insegnamento è articolato in 

1) lezioni frontali svolte dai docenti in cui verrà esposta la teoria, che verrà applicata ad esempi concreti ed illustrata attraverso la risoluzione di esercizi. 

2) lezioni in laboratorio computazione in cui i docenti esporranno l'utilizzo pratico degli algoritmi studiati ed illustrati nelle lezioni di teoria.

Le studentesse e studenti con certificazioni valide per Disturbi Specifici dell’Apprendimento
(DSA), per disabilità o altri bisogni educativi sono invitati a contattare i docenti e il referente per la disabilità della Scuola/Dipartimento all’inizio delle lezioni  per concordare eventuali modalità didattiche che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali.

Le studentesse e gli studenti e gli studenti impossibilitati a frequentare le lezioni  sono invitati a contattare i docenti per concordare incontri a loro dedicati e materiale specifico.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Anelli e ideali e moduli. Anelli e moduli Noetheriani. Algebre su un anello.  Il teorema della base di Hilbert. Proprietà universlae dell'anello dei polinomi in più variabili a coefficienti in un anello. Ideali monomiali.  Il teorema di struttura dei moduli su anelli PID.

Ordinamento, basi di Gröbner,  e divisione con resto. S-coppie e sizigie. Criterio ed algoritmo di Buchberger. Compatibilità di proprietà strutturali con l'algoritmo di Buchberger. Aspetti computazionali e implementativi delle basi di Groebner. Soluzioni algoritmiche dei seguenti problemi visti sia dal punto di vista teorico che in laboratorio computazioninale: 1) Appartenenza di un polinomio ad un ideale. 2) Appartenenza di un polinomio al radicale di  ideale 3) Calcolo delle sizigie 4)  Intersezione di ideali. 5) Eliminazione polinomiale. 6) Calcolo di nuclei di mappe fra algebre e fra moduli. 7) Soluzioni di sistemi di equazioni polinomiali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Computational Commutative Algebra 1
Authors: Kreuzer, Martin, Robbiano, Lorenzo
Springer 2000.

Note informali di algebra computazionale. Aldo Conca 2020. (disponibili su aulaweb)

Note informali di algebra commutativa. Matteo Varbaro  2022. (disponibili su aulaweb)

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

22 settembre 2025 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova orale e di una prova di laboratorio computazionale. La prova orale viene valutata con un punteggio T nell'intervalle [0,29] e risulta superata con un punteggio maggiore o uguale a 18. La prova di laboratorio viene valutata con un  puneggio L nell'intervallo [0,3/2]. Il punteggio finale risulta essere T+L. Le due prove possono essere  svolte in date e appelli distinti.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova orale consiste in

1) la  discussione di una nozione di base fra quelle presentate nel prima parte del corso,  illustrata attraverso esempi rilevanti e dimostrazioni.

2)  la discussione ed illustrazione di uno dei problemi computazionali  di base e la sua soluzione algoritmica mediante l'utilizzo delle basi di Groebner con relative dimostrazioni, procedure algoritmiche ed esempi salienti.

La parte di laboratorio consiste nella scrittura di programmi di calcolo simbolico mediante CoCoA5 per la risoluzione di due problemi concreti.

ALTRE INFORMAZIONI

Modalità di frequenza: Consigliata.

La frequenza è altamente consigliata in quanto le lezioni e le esercitazioni di laboratorio risultano fondamentali per comprendere gli argomenti trattati. Questi sono infatti un misto di teoria e pratica algebrica, spesso motivate da considerazioni euristiche che non  si trovano esposte nei testi.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il  Settore Servizi di supporto alla disabilità e agli studenti con DSA ed i docenti del corso per avere informazioni sulle modalità  d’esame e di apprendimento proposte ed in particolare degli  idonei strumenti compensativi.