PRESENTAZIONE

L'insegnamento è rivolto agli studenti della Laurea Magistrale e si propone di introdurre le nozioni fondamentali di Geometria Algebrica.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Obiettivo dell'insegnamento è presentare una introduzione elementare ai concetti e metodi di Geometria Algebrica moderna.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Obiettivo dell'insegnamento è presentare una introduzione elementare ai concetti e metodi di Geometria Algebrica moderna. Dopo aver ripreso le nozioni di varietà affini e proiettive, verranno affrontati i seguenti concetti: fasci, dimensione, spazi tangenti e punti singolari, coomologia di fasci, genere aritmetico e geometrico, divisori su curve. Verrà infine dimostrato il Teorema di Riemann-Roch per curve.

Al termine dell'insegnamento la studentessa e lo studente dovranno:

• saper richiamare e collegare le nozioni di base quali quelle di varietà algebrica affine e proiettiva;
• saper collegare le caratteristiche geometriche delle varietà algebriche con le loro caratteristiche algebriche;
• saper caratterizzare esempi di varietà algebriche in termini delle loro dimensione e singolarità;
• saper distinguere differenti fasci su una varietà, utilizzando le proprietà affrontate a lezione quali la coomologia di fasci;
• saper valutare il genere geometrico e aritmetico di una curva assegnata;
• saper utilizzare il Teorema di Riemann-Roch su curve algebriche;
• saper collegare le differenti nozioni presentate durante il corso, giustificando le affermazioni e dimostrando i risultati richiamati;
• saper formulare in termini algebrici i problemi di natura geometrica che scaturiscono naturalmente dallo studio delle varietà. 

PREREQUISITI

Sono considerati prerequisiti le nozioni affrontate nell'insegnamento IGS, in particolar modo le nozioni di modulo, localizzazione, topologia di Zariski, anelli di coordinate, varietà affini e proiettive.

E' consigliabile aver seguito tutti i corsi di Algebra della Laurea Triennale.

MODALITA' DIDATTICHE

L’insegnamento è articolato in lezioni frontali svolte dal docente in cui verrà esposta la teoria, che verrà applicata a diversi esempi e esercizi. L’insegnamento non prevede la frequenza obbligatoria, che rimane tuttavia caldeggiata.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Insiemi algebrici affini e proiettivi: richiami.
2. Fasci e varietà.
3. Dimensione.
4. Spazi tangenti e punti singolari.
5. Coomologia di fasci.
6. Genere aritmetico di una curva e il Teorema di Riemann-Roch.
7. Mappe razionali, genere geometrico e curve razionali.

Se il tempo lo permette, potranno essere dati cenni riguardo a:

1. Teorema di Bezout;
2. Fascio e divisore canonico.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Il testo principale di riferimento per l'insegnamento è:

Perrin, Daniel. Algebraic geometry. An introduction. Translated from the 1995 French original by Catriona Maclean. Universitext. Springer-Verlag London, Ltd., London; EDP Sciences, Les Ulis, 2008. xii+258 pp. ISBN: 978-1-84800-055-1; 978-2-7598-0048-3

Altri testi consigliati e che potranno essere utilizzati in parte sono:

• Shafarevich, Igor R. Basic algebraic geometry. 1. Varieties in projective space. Third edition. Translated from the 2007 third Russian edition. Springer, Heidelberg, 2013. xviii+310 pp. ISBN: 978-3-642-37955-0; 978-3-642-37956-7
• Ellingsrud, Geir and Ottem, John Christian. Introduction to Schemes. Preliminary version disponibile qui

Altri riferimenti potranno essere dati durante le lezioni.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

22 settembre 2025.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Esame orale sui contenuti dell'insegnamento e sull'applicazione delle nozioni affrontate a lezione.

Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre prima inserire la certificazione sul sito web di Ateneo alla pagina servizionline.unige.it nella sezione “Studenti”. La documentazione sarà verificata dal Settore servizi per l’inclusione degli studenti con disabilità e con DSA dell’Ateneo.

Successivamente, con significativo anticipo (almeno 7 giorni) rispetto alla data di esame occorre inviare una e-mail al/alla docente con cui si sosterrà la prova di esame, inserendo in copia conoscenza sia il docente Referente di Scuola per l'inclusione degli studenti con disabilità e con DSA (sergio.didomizio@unige.it) sia il Settore sopra indicato. Nella e-mail occorre specificare:

• la denominazione dell’insegnamento
• la data dell'appello
• il cognome, nome e numero di matricola dello studente
• gli strumenti compensativi e le misure dispensative ritenuti funzionali e richiesti.

Il/la referente confermerà al/alla docente che il/la richiedente ha diritto a fare richiesta di adattamenti in sede d'esame e che tali adattamenti devono essere concordati con il/la docente. Il/la docente risponderà comunicando se sia possibile utilizzare gli adattamenti richiesti.

Le richieste devono essere inviate almeno 7 giorni prima della data dell’appello al fine di consentire al/alla docente di valutarne il contenuto. In particolare, nel caso in cui si intenda usufruire di mappe concettuali per l’esame (che devono essere molto più sintetiche rispetto alle mappe usate per lo studio) se l’invio non rispetta i tempi previsti non vi sarà il tempo tecnico necessario per apportare eventuali modifiche.

Per ulteriori informazioni in merito alla richiesta di servizi e adattamenti consultare il documento: Linee guida per la richiesta di servizi, di strumenti compensativi e/o di misure dispensative e di ausili specifici.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame orale verterà sui contenuti dell'insegnamento e sull'applicazione delle nozioni affrontate a lezione. La studentessa e lo studente saranno valutati nei seguenti aspetti:

• capacità di richiamare le definizioni e i principali risultati introdotti a lezione, anche mediante esempi;
• capacità di dimostrare le proposizioni e i teoremi affrontati, argomentando ;
• capacità di utilizzare sia in ambito teorico che su esempi concreti gli strumenti introdotti quali la teoria dei fasci, la dimensione, la coomologia di fasci, il genere aritmetico e geometrico e il teorema di Riemann-Roch;
• capacità di formulare in termini algebrici problemi di natura geometrica.

ALTRE INFORMAZIONI

Rivolgersi al docente per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento.