PRESENTAZIONE

Questo insegnamento illustra i fondamenti della teoria dei campi e della teoria di Galois, una teoria matematica sviluppata all’inizio del diciannovesimo secolo per studiare la risolubilità delle equazioni algebriche.

Motivati da problemi classici come la ricerca di una formula per le soluzioni di un’equazione di quinto grado o la costruzione con riga e compasso di un poligono regolare con 7 lati, mostreremo come associare ad un’estensione di campi un gruppo di permutazioni. Questa associazione stabilisce una corrispondenza molto profonda tra gruppi e campi, che fornisce una sorta di dizionario per trasportare concetti e proprietà dalla teoria dei campi a quella dei gruppi e viceversa.

In questo modo potremo tradurre problemi di teoria dei campi come la risoluzione delle equazioni di quinto grado in un problema di teoria dei gruppi, ed affrontarlo nel mondo dei gruppi.

Il contenuto di questo insegnamento è molto classico, ma contiene anche spunti verso sviluppi piú moderni della teoria.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Fornire una conoscenza approfondita sulle estensione dei campi e della teoria di Galois, in particolare approfondire alcune applicazioni campi ciclotomici e risolubilità per radicali di equazioni algebriche.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo dell’insegnamento è quello di:

• fornire una conoscenza delle proprietà di base delle estensioni di campi;
• definire il concetto di gruppo di Galois;
• mostrare la corrispondenza tra le proprietà delle estensioni di campi e le proprietà dei gruppi di Galois ad esse associati;
• sfruttare questa corrispondenza per mostrare la risoluzione di alcuni problemi classici dell’algebra e della geometria euclidea.

Al termine dell’insegnamento lo studente sarà in grado di:

• ripetere le definizioni apprese;
• riconoscere in esempi concreti le proprietà di gruppi e campi studiate;
• calcolare in alcuni esempi concreti campi di spezzamento, gruppi di Galois ed altri oggetti matematici visti in teoria;
• applicare la corrispondenza di Galois per risolvere problemi della teoria dei campi.

PREREQUISITI

Definizione di campo. Numeri complessi. Nozioni elementari di algebra, tra cui: lemma di Gauß; criterio di Eisenstein; azioni di gruppi.

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni ed esercitazioni frontali, se la situazione sanitaria lo permetterà. Altrimenti video-lezioni su Teams.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Estensioni di campi e loro proprietà di base.

Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.

Campi di spezzamento ed estensioni normali.

Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.

Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.

Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.

Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.

Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.

Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.

Ulteriori esempi ed applicazioni.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Alcuni testi consigliati:

Algebra S. Bosch

Algebra S. Lang

Algebra M. Artin

Class Field Theory J. Neukirch

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 17 febbraio 2025 secondo l'orario riportato qui 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Se la situazione sanitaria lo consentirà, l’esame sarà composto da una parte scritta ed una orale.

Il superamento della prova scritta consentirà l’ammissione alla prova orale all’interno della stessa sessione di esami.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova scritta consisterà in problemi dimostrativi per accertare la capacità di calcolare in casi concreti gli oggetti matematici visti a lezione e di applicare le nozioni teoriche alla risoluzione di problemi.

La prova orale verterà su tutto il contenuto delle lezioni e terrà anche conto della chiarezza espositiva e dell’uso accurato del lessico scientifico.

ALTRE INFORMAZIONI

Si rimanda alla pagina di Aulaweb per ogni altra informazione e per eventuali variazioni dovute all’emergenza sanitaria.