PRESENTAZIONE

Algebra 3 tratta delle nozioni di base dell'algebra commutativa e degli aspetti algoritmici e computazionali ad essi associati. In particolare viene presentata la nozione di anello e modulo Noetheriano, di algebra e successivamente vengono introdotte le basi di Groebner che vengono applicate per la risoluzione computazionale di problemi relativi agli oggetti polinomiali sia in maniera teorica che in laboratorio.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo dell’insegnamento è far apprendere i concetti di base dell'algebra commutativa ed gli aspetti computazionali ad essi correlati. In particolare vengono discusse le nozioni di anello Noetheriano, modulo, base di Groebner e si presentano alcuni metodi risolutivi dei sistemi di equazioni polinomiali.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Algebra 3 si propone di fornire agli studenti le nozioni di base relative a:

1. Anelli e moduli Noetheriani.
2. Algebre.
3. Basi di Groebner e loro utilizzo per il calcolo simbolico.
4. Algoritmi relativi al calcolo ed uso delle basi di Groebner.

I risultati di apprendimento attesi sono:

1. Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono in grado di riconoscere un anello o un modulo Noetheriano e di illustrare le sue proprietà salienti anche attraverso la riproduzione delle principali dimostrazioni ad essi associate.
2. Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono in grado di risolvere esercizi relativi ad ideali, algebre e moduli con struttura particolare come per esempio gli ideali monomiali o i moduli sui PID.
3. Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono in grado di illustrare come l'utilizzo delle basi di Groebner consenta di risolvere algoritmicamente  problemi come l' appartenenza di un polinomio ad un ideale o al suo radicale,  il calcolo dell'intersezione fra ideali e delle loro sizigie, l'eliminazione di variabili e il calcolo di nuclei di omomorfismi di algebre.
4. Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono  in grado di decidere algortimicamente se un sistema di equazioni polinomiali ha soluzioni e di descriverle per quanto possibile esplicitamente.  
5. Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono  in grado di programmare sistemi di calcolo simbolico come CoCoA5 per risolvere problemi computazionali concreti. 

PREREQUISITI

I prerequisiti riguardano la conoscenza delle strutture algebriche di base quali spazi vettoriali, gruppi ed anelli.

MODALITA' DIDATTICHE

L’insegnamento è articolato in 

1. Lezioni frontali svolte dai docenti in cui verrà esposta la teoria, che verrà applicata ad esempi concreti ed illustrata attraverso la risoluzione di esercizi. 
2. Lezioni in laboratorio computazionale in cui i docenti esporranno l'utilizzo pratico degli algoritmi studiati ed illustrati nelle lezioni di teoria.

La frequenza è caldamente consigliata, in quanto sia le lezioni che le sessioni di laboratorio sono essenziali per la comprensione dei contenuti del corso. Il materiale trattato coniuga aspetti teorici e pratici dell'algebra ed è spesso guidato da considerazioni euristiche non comunemente reperibili nei libri di testo.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Anelli e ideali e moduli. Anelli e moduli Noetheriani. Algebre su un anello. Il teorema della base di Hilbert. Proprietà universale dell'anello dei polinomi in più variabili a coefficienti in un anello. Ideali monomiali. Il teorema di struttura dei moduli su anelli PID.

Ordinamento, basi di Groebner  e divisione con resto. S-coppie e sizigie. Criterio ed algoritmo di Buchberger. Compatibilità di proprietà strutturali con l'algoritmo di Buchberger. Aspetti computazionali e implementativi delle basi di Groebner. Soluzioni algoritmiche dei seguenti problemi visti sia dal punto di vista teorico che in laboratorio computazionale:

1. Appartenenza di un polinomio ad un ideale.
2. Appartenenza di un polinomio al radicale di  ideale.
3. Calcolo delle sizigie.
4. Intersezione di ideali.
5. Eliminazione polinomiale.
6. Calcolo di nuclei di mappe fra algebre e fra moduli.
7. Soluzioni di sistemi di equazioni polinomiali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• Computational Commutative Algebra 1 Autori: Kreuzer, Martin, Robbiano, Lorenzo, Springer 2000.
• Note informali di algebra computazionale. Autore: Aldo Conca 2020 (disponibili su AulaWeb).
• Note informali di algebra commutativa. Autore: Matteo Varbaro  2022 (disponibili su AulaWeb).

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Le date di inizio lezioni sono riportate sulle pagine web del Corso di Studi. L'orario si può consultare qui.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova di laboratorio computazionale ed una prova orale. La prova di laboratorio deve essere svolta per prima e, se superata con esito positivo, da diritto ad accedere alla prova orale. La prova orale ha una durata di circa 60 minuti e si divide in due fasi da circa 30 minuti ciascuna relative alle due parti principali del programma. 

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova orale consiste in:

1. Una discussione di alcune nozioni di base fra quelle presentate nel prima parte del corso, illustrate attraverso esempi rilevanti e dimostrazioni.
2. Una discussione ed illustrazione di uno dei problemi computazionali di base e la sua soluzione algoritmica mediante l'utilizzo delle basi di Groebner con relative dimostrazioni, procedure algoritmiche ed esempi salienti.

La parte di laboratorio consiste nella scrittura di programmi di calcolo simbolico mediante CoCoA5 per la risoluzione di due problemi concreti.

ALTRE INFORMAZIONI

Strumenti compensativi e misure dispensative Disabilità/Invalidità/Disturbo Specifico dell'Apprendimento

Le misure dispensative e gli strumenti compensativi servono a mettere gli studenti in condizione di raggiungere gli stessi obiettivi di apprendimento dei compagni di studio, non a facilitare l'esame.

L’utilizzo di strumenti compensativi e l’applicazione di misure dispensative devono essere preventivamente autorizzati dal Docente titolare dell'insegnamento in accordo con il Referente.

Per usufruire degli adattamenti in sede di esame compila il Modulo per la richiesta di adattamenti; la richiesta verrà inviata automaticamente dal sistema al docente titolare dell’insegnamento, al Referente della tua Scuola/Area/Dipartimento e in copia conoscenza al Settore; inoltre anche tu riceverai copia della richiesta inviata tramite e-mail.

Gli adattamenti di cui gli studenti possono usufruire sono i seguenti:

• Tempo aggiuntivo (+30% DSA)
• Tempo aggiuntivo (+50% disabilità/invalidità)
• Tempo aggiuntivo durante le prove orali per organizzare la risposta
• Calcolatrice (non sono ammesse calcolatrici programmabili e grafiche)
• Mappe concettuali
• Tabelle e/o Formulari
• Sostenere l'esame in forma scritta
• Sostenere l'esame in forma orale
• Tutor lettore (solo per prove scritte)
• Tutor scrittore (solo per prove scritte)

La tua richiesta di adattamenti deve essere inoltrata tassativamente almeno 7 giorni lavorativi prima della data prevista per l’esame.

Ulteriori informazioni al link: Servizi per studentesse e studenti con disabilità o con DSA | UniGe | Università di Genova

Referente per l'inclusione: Sergio Di Domizio - sergio.didomizio@unige.it