Informazioni in aggiornamento fino al 30/06/2026 CODICE 61682 ANNO ACCADEMICO 2026/2027 CFU 6 cfu anno 2 MATEMATICA 11907 (LM-40 R) - GENOVA 6 cfu anno 1 MATEMATICA 11907 (LM-40 R) - GENOVA SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE MAT/05 LINGUA Italiano SEDE GENOVA PERIODO 1° Semestre MATERIALE DIDATTICO AULAWEB PRESENTAZIONE L'insegnamento presenta un'introduzione all'analisi di Fourier. OBIETTIVI E CONTENUTI OBIETTIVI FORMATIVI Scopo dell'insegnamento è fornire una introduzione alle idee e ai metodi dell'analisi di Fourier, sul toro, sulla retta e nel caso discreto. Tra le applicazioni considerate, si darà particolare rilievo a problemi e tecniche dell'analisi del segnale, come il teorema del campionamento e la trasformata di Gabor. OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO Obiettivi formativi Lo scopo dell'insegnamento è quello di fornire i contenuti di base dell'analisi di Fourier che sono ritenuti fondamentali per la preparazione degli studenti della laurea magistrale in matematica. Risultati di apprendimento attesi Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà conoscere i concetti teorici introdotti a lezione, costruire e discutere esempi relativi a ciascuno di essi (in modo da comprendere meglio i concetti astratti), effettuare/ricostruire le dimostrazioni viste a lezione o facili varianti di queste e risolvere esercizi sugli argomenti relativi all'insegnamento. PREREQUISITI I concetti di base di analisi funzionale e teoria della misura. MODALITA' DIDATTICHE L'insegnamento è articolato in lezioni frontali svolte dal docente in cui viene esposta la teoria e in cui vengono discussi esempi di base (quattro ore alla settimana). Queste sono integrate da esercitazioni (due ore alla settimana): agli studenti sarà richiesto di preparare degli esercizi e di discuterli con il docente e gli altri studenti. PROGRAMMA/CONTENUTO Serie di Fourier. Coefficienti di Fourier di una serie trigonometrica. Teoria L^2, Teoria L^1. Lemma di Riemann-Lebesgue, nucleo di Dirichlet, di Fejer e di Poisson e loro proprietà. Medie di Cesaro. Definizione di identità approssimata. Convoluzione in L^1. Continuità delle traslazioni in L^1. Iniettività della trasformata, inversione per trasformate in l^1 . Inversione in L^1 mediante identità approssimate. Teorema di Dirichlet. Enunciati dei teoremi di Du Bois Reymond, Carleson e Katznelson. Successioni a decrescenza rapida. Caratterizzazione di C-infinito. Derivate di convoluzioni. Convergenza della serie di Fourier: funzioni regolari a tratti e funzioni continue con derivata continua a tratti. Il fenomeno di Gibbs. Applicazioni: il calore della terra, sul filo e sul disco. Nucleo di Gauss-Weierstrass. Trasformata di Fourier in R^n Convoluzione in R^n. La disuguaglianza di Young. Identità approssimate. Introduzione informale alla trasformata di Fourier F. Proprietà della trasformata di Fourier. Formula di moltiplicazione, teorema di convoluzione. Inversione in L^1. Definizione dello spazio di Schwartz e proprietà di densità. Il nucleo del calore. Formula di Poisson. Teoria L^2. Definizione di F su L^2. Proprietà di F. Teorema di convoluzione in L^2. Teorema di Paley-Wiener. Teorema di Shannon. Distribuzioni temperate. Proprietà della trasformata di Fourier su S. Definizione di distribuzione temperata: lo spazio S'. Operazioni elementari sulle distribuzioni. Distribuzioni associate a funzioni localmente integrabili. Convergenza in S'. Definizione e proprietà della trasformata di Fourier su S'. TESTI/BIBLIOGRAFIA Dispense del docente (aulaweb). Per consultazione Y. Katznelson An introduction to harmonic analysis Collocaz Bibl. DIMA 43-1968-07 L. Grafakos, Classical Fourier analysis. Third edition. Graduate Texts in Mathematics, 249. Springer, New York, 2014. G.B. Folland Fourier analysis and its applications Collocaz Bibl. DIMA 42-1992-01 E.M. Stein and G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Princeton University Press, 1971. DOCENTI E COMMISSIONI TOMMASO BRUNO Ricevimento: Alla fine delle lezioni o su appuntamento. ANDREA BRUNO CARBONARO LEZIONI INIZIO LEZIONI Secondo l'orario riportato qui Orari delle lezioni L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy ESAMI MODALITA' D'ESAME L'esame consiste in una prova orale. MODALITA' DI ACCERTAMENTO Durante la prova orale vengono affrontati alcuni aspetti riguardanti la teoria svolta a lezione e viene richiesta la soluzione di qualche esercizio, relativo agli argomenti trattati a lezione. Questo consente di accertare le conoscenze degli studenti e le loro abilità a metterle in pratica.
