PRESENTAZIONE

La teoria delle categorie è una branca molto giovane della matematica. Nata ufficilamente nel 1945 in seno all'algebra omologica, da un articolo di Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane, ha presto trovato importanti applicazioni in diverse aree della matematica, fra cui algebra, geometria e logica, grazie alle idee di Alexander Grothendieck e William Lawvere. Attualmente, oltre a espandere le proprie aree di applicazione, che ora si spingono anche alla fisica e all'informatica, si sta affermando come un linguaggio con cui mettere queste discipline, e le persone che ci lavorano, in comunicazione fra loro, isolando gli aspetti comuni delle definizioni e delle dimostrazioni e permettendo, ad esempio, di dare un significato preciso a concetti quali 'naturale' o 'canonico'.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

L'insegnamento fornisce le nozioni di base di teoria delle categorie: categorie, funtori, trasfomazioni naturali, aggiunzioni, limiti, colimiti. Presenta inoltre alcuni risultati fondamentali, in particolare il Lemma di Yoneda e il Teorema Speciale del Funtore Aggiunto.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Scopo dell'insegnamento è di fornire una solida conoscenza dei concetti di base della teoria delle categorie, e i loro principali utilizzi nella pratica matematica.
Al termine dell'insegnamento si sarà in grado di:
- riformulare concetti e risultati noti, o che verranno appresi in seguito, usando il linguaggio della teoria delle categorie;
- definire oggetti matematici tramite la loro prorietà universale, così come usare questa per ricavarne proprietà specifiche;
- sfruttare il lemma di Yoneda e la rappresentabilità di funtori per ricavare risultati su categorie a partire da risultati su insiemi;
- dimostrare proprietà di chiusura per classi di oggeti matematici usando i teoremi del funtore aggiunto e i teoremi di monadicità.

PREREQUISITI

Algebra di base e topologia di base

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni frontali ed esercizi.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Concetti fondamentali: categorie, funtori, trasformazioni naturali.
2. Classi di morfismi in una categoria: epi, mono, ed isomorfismi; funtori pienamente fedeli.
3. Limiti e colimiti, oggetti universali; oggetti iniziali, terminali, co/prodotti, co/equalizzatori, pullback, pushout.
4. Il lemma di Yoneda; proprietà dei funtori rappresentabili.
5. Funtori aggiunti e loro proprietà; teoremi del funtore aggiunto, categorie cartesiane chiuse.
6. Possibili argomenti aggiuntivi:
 - Monadi; proprietà delle monadi; algebre e teorema di monadicità.
 - Categorie monoidali e monoidali chiuse; definizioni, esempi, usi.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

E. Riehl. Category theory in context. Dover, 2015
S. Awodey. Category theory, 2nd edition. Oxford Logic Guides 52, 2010
S. Mac Lane. Categories for the working matematician, 2nd edition. Springer, 1998

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Si veda il calendario: https://corsi.unige.it/corsi/11907/studenti-orario 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste di una prova orale. Si ricorda alle/agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre seguire le istruzioni descritte in dettaglio su Aulaweb all'indirizzo <https://2023.aulaweb.unige.it/course/view.php?id=12490#section-3>.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova orale verificherà l'effettivo apprendimento delle nozioni di base di teoria delle categorie, dei risultati visti durante il corso, e delle loro dimostrazioni e applicazioni. La  valutazione d'esame prenderà in considerazione la correttezza dell'esposizione, la sua chiarezza e la precisione del ragionamento.

ALTRE INFORMAZIONI

Strumenti compensativi e misure dispensative Disabilità/Invalidità/Disturbo Specifico dell'Apprendimento

Le misure dispensative e gli strumenti compensativi servono a mettere gli studenti in condizione di raggiungere gli stessi obiettivi di apprendimento dei compagni di studio, non a facilitare l'esame.

L’utilizzo di strumenti compensativi e l’applicazione di misure dispensative devono essere preventivamente autorizzati dal Docente titolare dell'insegnamento in accordo con il Referente. Per usufruire degli adattamenti in sede di esame compila il Modulo per la richiesta di adattamenti; la richiesta verrà inviata automaticamente dal sistema al docente titolare dell’insegnamento, al Referente della tua Scuola/Area/Dipartimento e in copia conoscenza al Settore; inoltre anche tu riceverai copia della richiesta inviata tramite e-mail.

Gli adattamenti di cui gli studenti possono usufruire sono i seguenti:

· Tempo aggiuntivo (+30% DSA)

· Tempo aggiuntivo (+50% disabilità/invalidità)

· Tempo aggiuntivo durante le prove orali per organizzare la risposta

· Calcolatrice (non sono ammesse calcolatrici programmabili e grafiche)

· Mappe concettuali

· Tabelle e/o Formulari

· Sostenere l'esame in forma scritta

· Sostenere l'esame in forma orale

· Tutor lettore (solo per prove scritte)

· Tutor scrittore (solo per prove scritte)

La richiesta di adattamenti deve essere inoltrata tassativamente almeno 7 giorni lavorativi prima della data prevista per l’esame. Ulteriori informazioni al link: Servizi per studentesse e studenti con disabilità o con DSA | UniGe | Università di Genova Referente per l'inclusione: Sergio Di Domizio - sergio.didomizio@unige.it