OBIETTIVI FORMATIVI

Introdurre i concetti fondamentali del calcolo numerico (complessità, errore) e presentare i principali metodi computazionali per la risoluzione dei principali problemi dell'algebra lineare numerica e di alcuni problemi di interpolazione e minimizzazione.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale.

Lezioni svolte principalmente in aula con 2 esercitazioni in laboratorio nell'orario ufficiale.

E' inoltre a disposizione un esercitatore per l'assistenza in laboratorio per 2 ore settimanali fuori dall'orario ufficiale, a partire da metà semestre.

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Analisi degli errori
  • Cenni rappresentazione in base 2.
  • Numeri di macchina e precisione di macchina.
  • Errore inerente. Stima per funzioni razionali.
  • Errore algoritmico.
  • Errore totale.
• Soluzione di sistemi lineari non singolari
  • Soluzione numerica sistemi lineari (metodo diretto di eliminazione Gaussiana).
  • Condizionamento di matrici.
  • Studio della complessità e dell'errore algoritmico per la soluzione di sistemi lineari.
• Complementi di algebra lineare: interpretazione geometrica di vettori e matrici
  • Prodotto scalare e basi ortonormali.
  • Le matrici come trasformazioni lineari geometriche.
  • Nucleo, immagine e rango.
  • Matrici ortogonali: rotazioni, riflessioni, fattorizzazione QR.
• Soluzione approssimata di sistemi lineari nel senso dei minimi quadrati
  • Inquadramento geometrico del problema.
  • Equazioni normali.
  • Risoluzione del problema ai minimi quadrati tramite ortogonalizzazione.
• Interpolazione con funzioni spline
  • Definizione di spline interpolante.
  • Procedimento di calcolo.
  • Cenno alle proprietà matematiche e numeriche.
• Complementi di algebra lineare: autovalori
  • Autovalori, autovettori, autospazi.
  • Polinomio caratteristico.
  • Relazioni di similitudine e diagonalizzazione.
  • Applicazioni.
• SVD e applicazioni ai minimi quadrati
  • Decomposizione ai valori singolari (SVD) e relazioni con gli autovalori.
  • Proprietà geometriche della SVD e relazioni col rango.
  • Inversa generalizzata e condizionamenti.
  • Risoluzione del problema ai minimi quadrati tramite SVD.
  • Applicazione all’approssimazione di dati discreti (smoothing).
• Trattamento numerico degli autovalori
  • Proprietà numeriche: cenni a condizionamento e localizzazione.
  • Metodo iterativo delle potenze e varianti (cenni).
  • Cenno ad altri metodi numerici: riduzione per similitudine a forma semplificata, metodo QR.

Sono previste esercitazioni al calcolatore in linguaggio C e in linguaggio Matlab.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Per le parti del programma relative ai complementi di algebra lineare, si può consultare qualunque testo classico di algebra lineare e geometria; segnaliamo in particolare le dispense utilizzate dal prof. Gianfranco Niesi per il Vecchio Ordinamento.
Per le parti del programma a contenuto prevalentemente numerico, i testi reperibili sono generalmente sovradimensionati rispetto al corso e pertanto si consiglia di utilizzare prevalentemente gli appunti presi a lezione. A puro titolo di consultazione, si può comunque fare riferimento ai libri
G.Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico. CLUT, Torino, 1998.
D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l' Algebra Lineare. Zanichelli, 1988
R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici. Zanichelli, 1992.

Sono inoltre disponibili su Aulaweb gli appunti del corso presi dallo studente Stefano Sabatini nell'a.a. 2010-11 e controllati dal docente.