PRESENTAZIONE

L'insegnamento introduce ai concetti di base sull'uso del calcolatore per risolvere problemi di matematica applicata (in particolare, soluzione di sistemi lineari e approssimazione di dati) e fornisce nozioni basilari di algebra lineare con particolare riguardo al calcolo matriciale, agli spazi vettoriali, alla risoluzione di sistemi lineari e  alla forma canonica di matrici..

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Acquisire le nozioni di base dell'algebra lineare (vettori, matrici, trasformazioni lineari e autovalori) e del calcolo numerico (complessità ed errore). Assimilare i principali metodi computazionali per la risoluzione di problemi dell'algebra lineare numerica e di alcuni problemi di approssimazione.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Al termine dell’insegnamento lo studente sarà in grado di:

• Conoscere i fondamenti del calcolo numerico e sapere valutare il condizionamento di semplici problemi matematici e costo computazionale e stabilità per alcuni algoritmi basilari, in particolare nel caso della risoluzione di sistemi lineari. 
• Applicare la teoria delle matrici e il calcolo vettoriale a problemi di calcolo numerico.
• Comprendere le relazioni fondamentali tra algebra lineare e geometria, conoscere lo strumento delle matrici ortogonali e saperle usare per algoritmi di riduzione, comprendere il concetto di autovalori e saperli calcolare per matrici di piccola dimensione.
• Comprendere il concetto di approssimazione nelle varie forme, conoscere alcune tecniche e saper risolvere problemi lineari ai minimi quadrati.
• Essere in grado di implementare sul calcolatore alcuni algoritmi numerici e valutare l'attendibilità dei risultati.

PREREQUISITI

Nell'insegnamento ALGEBRA LINEARE E ANALISI NUMERICA si assumono come prerequisiti i contenuti dei seguenti corsi:

• CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE
• INTRODUZIONE ALLA PROGRAMMAZIONE
• ALGEBRA E LOGICA PER INFORMATICA 

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni svolte principalmente in aula con 2 esercitazioni in laboratorio nell'orario ufficiale.

E' inoltre a disposizione un esercitatore per l'assistenza in laboratorio per 2 ore settimanali fuori dall'orario ufficiale, a partire da metà semestre.

La frequenza alle lezioni è altamente consigliata.

Su piattaforma Aulaweb sono proposti settimanalmente, per alcune parti del corso, esercizi per verificare l'apprendimento dello studente, alcuni con soluzione.
 

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Analisi degli errori
  • Cenni rappresentazione in base 2.
  • Numeri di macchina e precisione di macchina.
  • Errore inerente. Stima per funzioni razionali.
  • Errore algoritmico.
  • Errore totale.
• Nozioni basilari di algebra lineare e soluzione numerica di sistemi lineari non singolari
  • Operazioni tra matrici e matrici invertibili
  • Eliminazione di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari
  • Determinanti e caratteristica di una matrice. Teorema di Laplace. Teorema di Cramer. Caratteristica di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli.
  • Condizionamento di matrici.
  • Studio della complessità e dell'errore algoritmico per la soluzione di sistemi lineari.
• Complementi di algebra lineare: interpretazione geometrica di vettori e matrici
  • Prodotto scalare e basi ortonormali.
  • Le matrici come trasformazioni lineari geometriche.
  • Nucleo, immagine e rango.
  • Matrici ortogonali: rotazioni, riflessioni, fattorizzazione QR.
• Soluzione approssimata di sistemi lineari nel senso dei minimi quadrati
  • Inquadramento geometrico del problema.
  • Equazioni normali.
  • Risoluzione del problema ai minimi quadrati tramite ortogonalizzazione.
• Interpolazione con funzioni spline
  • Definizione di spline interpolante.
  • Procedimento di calcolo.
  • Cenno alle proprietà matematiche e numeriche.
• Complementi di algebra lineare: autovalori
  • Autovalori, autovettori, autospazi.
  • Polinomio caratteristico.
  • Relazioni di similitudine e diagonalizzazione; il caso di matrici simmetriche.
  • Applicazioni.
• SVD e applicazioni ai minimi quadrati
  • Decomposizione ai valori singolari (SVD) e relazioni con gli autovalori.
  • Proprietà geometriche della SVD e relazioni col rango.
  • Inversa generalizzata e condizionamenti.
  • Risoluzione del problema ai minimi quadrati tramite SVD.
  • Applicazione all’approssimazione di dati discreti (smoothing).
• Trattamento numerico degli autovalori
  • Proprietà numeriche: cenni a condizionamento e localizzazione.
  • Metodo iterativo delle potenze e varianti (cenni).
  • Cenno ad altri metodi numerici: riduzione per similitudine a forma semplificata, metodo QR.

Sono previste esercitazioni al calcolatore in linguaggio C e in linguaggio Matlab.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Per le parti del programma relative all'algebra lineare, su Aulaweb sono a disposizione dello studente:
1. Appunti di Geometria e Calcolo numerico (A. Perelli e M.V. Catalisano)
2. Appunti di Geometria (G. Niesi)
Si consiglia come testo di riferimento:  Algebra Lineare a Geometria Analitica (F. Odetti, M. Raimondo), ECIG Universitas.

Per le parti del programma a contenuto prevalentemente numerico, i testi reperibili sono generalmente sovradimensionati rispetto al corso e pertanto si consiglia di utilizzare principalmente gli appunti presi a lezione. In particolare, sono disponibili su Aulaweb gli appunti del corso presi dallo studente Stefano Sabatini nell'a.a. 2010-11 e controllati dal docente. A puro titolo di consultazione, si può comunque fare riferimento ai libri
G.Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico. CLUT, Torino, 1998.
D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l' Algebra Lineare. Zanichelli, 1988
R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici. Zanichelli, 1992.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

FABIO DI BENEDETTO (Presidente)

MARIA EVELINA ROSSI

FEDERICO BENVENUTO (Supplente)

SABRINA GUASTAVINO (Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di tutti gli insegnamenti è consultabile all'indirizzo EasyAcademy.

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Per dare l'esame occorre sostenere (in qualunque ordine):

- la prova di laboratorio

- la prova scritta;

il voto finale è rappresentato dalla somma dei punteggi delle due prove.   

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

PROVA DI LABORATORIO

La valutazione si basa su una serie di 4 esercitazioni che si svolgeranno durante il corso. Per ogni esercitazione, ogni gruppo dovrà consegnare il codice prodotto, i risultati ottenuti e una relazione che li descriva. E' prevista una parte in C, la cui consegna sarà obbligatoria per passare l'esame, che verrà valutata da 0 a 3 punti e una parte in Matlab, la cui consegna sarà facoltativa, che verrà valutata da 0 a 2 punti. Le consegne verranno valutate tenendo conto dei seguenti aspetti in ordine decrescente di importanza:

1. Codice funzionante che produce risultati sensati (requisito minimo per il superamento della prova con 0 punti);
2. Efficacia, chiarezza e leggibilità nella presentazione dei risultati nella relazione;
3. Spiegazione e giustificazione dei risultati, alla luce della teoria;
4. Stile e leggibilità dei programmi;
5. Efficienza di calcolo dei programmi.

PROVA SCRITTA

Ha una durata intorno alle 3 ore (compatibilmente con la difficoltà del testo) e prevede domande teoriche ed esercizi per verificare il raggiungimento degli obiettivi di apprendimento descritti nell'apposita sezione.
Una parte della prova, inerente i concetti basilari dell'algebra lineare, è formata da 4 brevi domande che comportano un punteggio uguale a +1 (in caso di risposta esatta) o -1 (in caso di risposta non data o sbagliata); alle altre parti della prova viene assegnato un punteggio massimo pari a 25.
In caso di punteggio (complessivo delle due parti) inferiore a 18, la prova scritta si ritiene non superata.

Calendario appelli