OBIETTIVI FORMATIVI

Acquisire le nozioni di base dell'algebra lineare (vettori, matrici, trasformazioni lineari e autovalori) e del calcolo numerico (complessità ed errore). Assimilare i principali metodi computazionali per la risoluzione di problemi dell'algebra lineare numerica e di alcuni problemi di approssimazione.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Al termine dell’insegnamento lo studente sarà in grado di:

• Conoscere i fondamenti del calcolo numerico e sapere valutare il condizionamento di semplici problemi matematici e costo computazionale e stabilità per alcuni algoritmi basilari, in particolare nel caso della risoluzione di sistemi lineari. 
• Applicare la teoria delle matrici e il calcolo vettoriale a problemi di calcolo numerico.
• Comprendere le relazioni fondamentali tra algebra lineare e geometria, conoscere lo strumento delle matrici ortogonali e saperle usare per algoritmi di riduzione, comprendere il concetto di autovalori e saperli calcolare per matrici di piccola dimensione.
• Comprendere il concetto di approssimazione nelle varie forme, conoscere alcune tecniche e saper risolvere problemi lineari ai minimi quadrati.
• Essere in grado di implementare sul calcolatore alcuni algoritmi numerici e valutare l'attendibilità dei risultati.

PREREQUISITI

Nell'insegnamento ALGEBRA LINEARE E ANALISI NUMERICA si assumono come prerequisiti i contenuti dei seguenti corsi:

• CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE
• INTRODUZIONE ALLA PROGRAMMAZIONE
• ALGEBRA E LOGICA PER INFORMATICA 

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni svolte principalmente in aula (salvo restrizioni dovute all'emergenza sanitaria) con 2 esercitazioni in laboratorio nell'orario ufficiale.

E' inoltre a disposizione un esercitatore per l'assistenza in laboratorio per 2 ore settimanali fuori dall'orario ufficiale, a partire da metà semestre.

La frequenza alle lezioni è altamente consigliata.

Su piattaforma Aulaweb sono proposti settimanalmente, per alcune parti del corso, esercizi per verificare l'apprendimento dello studente, alcuni con soluzione.
 

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Analisi degli errori
  • Cenni rappresentazione in base 2.
  • Numeri di macchina e precisione di macchina.
  • Errore inerente. Stima per funzioni razionali.
  • Errore algoritmico.
  • Errore totale.
• Nozioni basilari di algebra lineare e soluzione numerica di sistemi lineari non singolari
  • Operazioni tra matrici e matrici invertibili
  • Eliminazione di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari
  • Determinanti e caratteristica di una matrice. Teorema di Laplace. Teorema di Cramer. Caratteristica di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli.
  • Condizionamento di matrici.
  • Studio della complessità e dell'errore algoritmico per la soluzione di sistemi lineari.
• Complementi di algebra lineare: interpretazione geometrica di vettori e matrici
  • Prodotto scalare e basi ortonormali.
  • Le matrici come trasformazioni lineari geometriche.
  • Nucleo, immagine e rango.
  • Matrici ortogonali: rotazioni, riflessioni, fattorizzazione QR.
• Soluzione approssimata di sistemi lineari nel senso dei minimi quadrati
  • Inquadramento geometrico del problema.
  • Equazioni normali.
  • Risoluzione del problema ai minimi quadrati tramite ortogonalizzazione.
• Interpolazione con funzioni spline
  • Definizione di spline interpolante.
  • Procedimento di calcolo.
  • Cenno alle proprietà matematiche e numeriche.
• Complementi di algebra lineare: autovalori
  • Autovalori, autovettori, autospazi.
  • Polinomio caratteristico.
  • Relazioni di similitudine e diagonalizzazione; il caso di matrici simmetriche.
  • Applicazioni.
• SVD e applicazioni ai minimi quadrati
  • Decomposizione ai valori singolari (SVD) e relazioni con gli autovalori.
  • Proprietà geometriche della SVD e relazioni col rango.
  • Inversa generalizzata e condizionamenti.
  • Risoluzione del problema ai minimi quadrati tramite SVD.
  • Applicazione all’approssimazione di dati discreti (smoothing).
• Trattamento numerico degli autovalori
  • Proprietà numeriche: cenni a condizionamento e localizzazione.
  • Metodo iterativo delle potenze e varianti (cenni).
  • Cenno ad altri metodi numerici: riduzione per similitudine a forma semplificata, metodo QR.

Sono previste esercitazioni al calcolatore in linguaggio C e in linguaggio Matlab.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Per le parti del programma relative all'algebra lineare, su Aulaweb sono a disposizione dello studente:
1. Appunti di Geometria e Calcolo numerico (A. Perelli e M.V. Catalisano)
2. Appunti di Geometria (G. Niesi)
Si consiglia come testo di riferimento:  Algebra Lineare a Geometria Analitica (F. Odetti, M. Raimondo), ECIG Universitas.

Per le parti del programma a contenuto prevalentemente numerico, i testi reperibili sono generalmente sovradimensionati rispetto al corso e pertanto si consiglia di utilizzare principalmente gli appunti presi a lezione. In particolare, sono disponibili su Aulaweb gli appunti del corso presi dallo studente Stefano Sabatini nell'a.a. 2010-11 e controllati dal docente. A puro titolo di consultazione, si può comunque fare riferimento ai libri
G.Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico. CLUT, Torino, 1998.
D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l' Algebra Lineare. Zanichelli, 1988
R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici. Zanichelli, 1992.