OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso si propone di fornire le nozioni fondamentali su Integrazione numerica, Integrazione di funzioni di più variabili, Integrazione su curve e superfici, Campi vettoriali. Fornire strumenti di calcolo algebrico e conoscenze di geometria analitica del piano e dello spazio.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

ANALISI

Lo studente dovra` conoscere gli strumenti per il calcolo degli integrali doppi , tripli, curvilinei  e di superficie, le proprietà  fondamentali dei campi vettoriali, i teoremi classici del calcolo differenziale nello spazio Euclideo (divergenza, rotore, Stokes, Gauss-Green).

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di richiamare e presentare le nozioni teoriche affrontate nel corso. Inoltre, applicando gli algoritmi e le tecniche risolutive viste nel corso e giustificandone i vari passaggi, sarà in grado di:

• calcolare integrali doppi e tripli di semplici funzioni estesi a domini geometricamente rilevanti (porzioni di coni, cilindri, sfere, ellissoidi) utilizzando cambi di variabile e formule di riduzione; in particolare sara` richiesto il calcolo di aree, volumi, coordinate del baricentro e delle componenti del tensore d'inerzia;
• calcolare integrali curvilinei e di superficie e di utilizzare strumenti quali il Teorema della Divergenza e la Formula di Gauss-Green.
• stabilire la conservatività  dei campi vettoriali e determinarne i potenziali;
• utilizzare le proprietà  fondamentali delle funzioni olomorfe per il calcolo degli integrali delle funzioni di variabile complessa (Teorema dei residui)
• conoscere ed utilizzare le proprietà elementari della trasformata di Laplace

Geometria-

Il corso si prefigge di fornire le competenze teoriche e pratiche necessarie alla comprensione e alla risoluzione dei problemi inerenti ai seguenti argomenti: cambiamenti di coordinate nello spazio, matrici simmetriche e loro segnatura, coniche e quadriche, curve e superfici differenziali nello spazio.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di richiamare e presentare le nozioni teoriche affrontate nel corso. Inoltre, applicando gli algoritmi e le tecniche risolutive viste nel corso e giustificandone i vari passaggi, sarà in grado di:
- scrivere e analizzare un cambiamento di coordinate nello spazio mediante rototraslazione;
- valutare la segnatura e il carattere di definizione di una matrice simmetrica;
- identificare e studiare una conica o una quadrica assegnate;
- studiare e caratterizzare la geometria di una curva o superficie parametrizzata.

PREREQUISITI

Nozioni calcolo differenziale per funzioni di una e due variabili. Integrazione delle funzioni di una variabile.

Geometria analitica piana, elementi fondamentali di algebra lineare.

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni ed esercitazioni per circa 60h (Analisi Matematica) e 30h (Geometria), con modalità ancora da stabilire e che dipenderanno dall'evolversi della situazione pandemica.

PROGRAMMA/CONTENUTO

ANALISI MATEMATICA

1.Integrale di Riemann per funzioni di 2/3 variabili. Misura dei sottoinsiemi di R^2 e di R^3. Formule di riduzione per integrali doppi e tripli. Cambiamenmto di variabile negli integrali. Coordinate polari, cilindriche, sferiche.

2. Curve in R^n. Lunghezza di una curva. Integrali curvilinei ( rispetto alla lunghezza).

3. Superfici parametriche in R^3. Area di una superficie. Integrali superficiali. 

4. Campi vettoriali. Campi irrotazionali, campi conservativi. Teorema della divergenza. Formula di Gauss-Green.

5. Funzioni di variabile complessa. Funzioni derivabili, condizioni di Cauchy Riemann. Teorema di Cauchy e Formula di Cauchy. Singolarita` isolate e Teorema dei residui. Definizione e proprieta` elementari della Trasformata di Laplace. Semplici applicazioni.

GEOMETRIA

I seguenti argomenti verranno trattati sia dal punto di vista teorico (lezioni) che pratico (esercitazioni), senza una divisione definita tra i due momenti.
Richiami di algebra lineare.
Cambiamenti di coordinate e rototraslazioni nello spazio.
Forme quadratiche e matrici simmetriche.
Classificazione di coniche e quadriche.
Geometria differenziale di curve parametrizzate.
Geometria differenziale di superfici parametrizzate.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

ANALISI 

Canuto-Tabacco, Analisi Matematica II

Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2

GEOMETRIA

Testi di riferimento:

- A.Bernardi, A.Gimigliano, Algebra Lineare e Geometria Analitica, Città Studi Edizioni. 

- M.V. Catalisano, A. Perelli, Appunti di geometria e calcolo numerico, Dispense disponibili nella pagina aulaweb del corso

- M.E. Rossi, Algebra lineare, Dispense disponibili nella pagina aulaweb del corso

Altri testi:

- Silvio Greco, Paolo Valabrega – GEOMETRIA ANALITICA – Levrotto e Bella

- Silvana Abeasis - ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA - ZANICHELLI 

- Marco Abate, Algebra Lineare , ed. McGraw-Hill

- E. Sernesi, Geometria vol 1, ed Bollati-Boringhieri