OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso si propone di fornire strumenti utili per risolvere le principali equazioni differenziali alle derivate parziali. L’enfasi è posta sulle PDE del secondo ordine e sulla comprensione delle tecniche specifiche per i casi ellittico, parabolico ed iperbolico.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

La partecipazione attiva alle lezioni frontali e lo studio individuale permetteranno allo studente di:

• saper classificare le principali equazioni alle derivate parziali;
• calcolare la soluzione analitica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico;
• utilizzare le tecniche di separazione di variabili, serie e la trasformata di Fourier, funzioni speciali.

MODALITA' DIDATTICHE

Il modulo è basato su lezioni teoriche.

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Analisi di fenomeni e motivazioni che portano allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali. La fune elastica e la transizione dai sistemi discreti ai sistemi continui.
2. Le equazioni differenziali del secondo ordine. La classificazione e la forma normale. Equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.
3. Equazioni ellittiche. Proprietà delle funzioni armoniche; i problemi di Dirichlet e di Neumann, la formula di Poisson per il cerchio.
4. Le tecniche generali di soluzione separazione di variabili; la serie e la trasformata di Fourier; l'effetto Gibbs; l'analisi in modi normali; la “funzione” delta di Dirac; i casi bi-tridimensionale.
5. Le funzioni speciali: le funzioni di Bessel J,Y, I, K; le serie di Fourier Bessel e di Dini; le trasformate di Fourier in coordinate polari: la trasformata di Hankel . Applicazioni ai problemi in coordinate polari.
6. Le equazioni differenziali paraboliche; l'equazione della diffusione e del calore; descrizioni nel dominio dello spazio e del tempo; nucleo del calore.
7. Le equazioni di tipo iperbolico: l’equazione di D'Alembert, il metodo delle caratteristiche, la membrana elastica, l’interpretazione meccanico-dinamica dei modi normali; il problema di Cauchy e il dominio futuro di dipendenza.
8. PDE di ordine superiore: l'equazione biarmonica; il relativo problema di Cauchy.
9. Le equazioni non omogenee: le sorgenti distribuite e puntiformi; la funzione di Green e la sua interpretazione sistemistica come funzione di trasferimento; la descrizione con la funzione delta di Dirac.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• A.N.Tichonov, A.A.Samarskij: Equazioni della Fisica matematica, Problemi della fisica matematica, Mosca,1982;
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Phisics vol I e II, Interscience, NY, 1973;
• R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, New York: McGraw-Hill, 1999;
• P. V. O’ Neil, Advanced engineering mathematica, Brooks Cole, 2003;
• H. Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna, 1985;
• V. I. Smirnov. Corso di Matematica superiore, Vol. 3. MIR (1978).