OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo del corso è fornire agli studenti gli strumenti matematici avanzati usati nella fisica moderna: funzioni di variabile complessa, trasformate di Fourier e Laplace, spazi di Hilbert ed equazioni differenziali alle derivate parziali classiche della fisica matematica

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Il corso ha come obiettivo principale l’acquisizione di conoscenze e competenze di base relative agli strumenti matematici avanzati che hanno applicazione di carattere generale in Fisica. Particolare cura è data alla comprensione delle argomentazioni, al rigore nella presentazione dei concetti e dei ragionamenti, agli aspetti applicativi degli strumenti teorici sviluppati. 

Si  vuole fornire una solida preparazione con un ampio spettro di conoscenze di base relativo a strumenti matematici rilevanti per le applicazioni fisiche, con l'obbiettivo di raggiungere una buona capacità di applicare conoscenze e comprensione; in particolare, di  essere in grado di produrre semplici dimostrazioni rigorose di risultati matematici non identici a quelli già conosciuti, ma chiaramente correlati ad essi, di essere in grado di formalizzare matematicamente problemi di moderata difficoltà, in modo da facilitare la loro analisi e risoluzione, di essere capaci di leggere e comprendere, in modo autonomo, testi di base di Matematica Applicata a problemi fisici.  L’esposizione dei contenuti sarà svolta in modo da migliorare la capacità dello studente di riconoscere dimostrazioni rigorose e individuare ragionamenti fallaci. Particolare attenzione sarà dedicata alla capacità di individuare le motivazioni fisiche che suggeriscono opportune strutture matematiche. Inoltre, la presentazione degli argomenti sarà svolta in modo da consentire l’acquisizione di una buona capacità di comunicare problemi, idee e soluzioni riguardanti i Metodi Matematici per la Fisica, sia in forma scritta che orale.  Saranno indicati argomenti da approfondire, strettamente correlati con l’insegnamento, al fine di stimolare la capacità di apprendimento autonomo dello studente.

PREREQUISITI

Contenuti di Analisi, Algebra e Geometria svolti nei primi due anni

MODALITA' DIDATTICHE

Sia le lezioni che le esercitazioni sono svolte alla lavagna. Gli studenti sono sempre invitati a partecipare attivamente ponendo domande, proponendo soluzioni ai problemi proposti. Il coinvolgimento attivo degli studenti verosimilmente contribuisce a ridurre i tempi e le difficoltà legate allo studio degli argomenti presentati nell'ambito del corso.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Teoria delle funzioni analitiche.  Algebra e geometria dei numeri complessi. Caratterizzazione analitica e geometrica delle funzioni analitiche. Condizioni di Cauchy-Riemann. Successioni e serie di numeri complessi e di funzioni di variabile complessa. Scambio dei limiti e passaggio al limite sotto il segno di derivata. Serie di potenze nel campo complesso: raggio di convergenza. Funzioni elementari nel piano complesso.  Integrali nel campo complesso. Teorema di Cauchy, formula di Cauchy e sue applicazioni. Serie di Taylor e suo raggio di convergenza. Zeri e punti singolari isolati di funzioni di variabile complessa. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Teorema di Morera.   Serie di Laurent.  Zeri e singolarità isolate ed essenziali. Residui e teorema dei residui. Classificazione e proprietà generali delle funzioni  analitiche. Lemma di Jordan e sue applicazioni. Singolarità sul cammino di integrazione.   Multi-funzioni e e loro proprietà. Continuazione analitica.  Continuamento analitico della trasformata di Fourier e sua relazione con la trasformata di Laplace. Formula di inversione complessa della trasformata di Laplace.

Analisi di Fourier e applicazioni.  Generalità sulle distribuzioni: spazio delle funzioni di prova. Definizione e proprietà della delta di Dirac. Integrale e derivata della delta di Dirac. La trasformata di Fourier in L_1 e in L_2. Proprietà generali della trasformata di Fourier. proprietà del prodotto di convoluzione. La trasformata di Fourier-Plancherel come operatore unitario su L_2(R).  Trasformata di Fourier della delta di Dirac. Applicazioni della trasformata di Fourier alla soluzione di equazioni differenziali.  Nucleo del calore. Trasformata di Laplace: definizione, proprietà ed esempi. Applicazioni.

Spazi vettoriali a dimensione infinita. Sistemi ortonormali completi in spazi euclidei a dimensione infinita. Coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel ed uguaglianza di Parseval. Lo spazio di Hilbert l_2. Spazi di Banach:  Sistemi ortonormali completi in L_2[a,b]. Serie di Fourier: convergenza uniforme e puntuale.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

1] Dispense fornite dal docente

2] Neeham, Visual complex analysis

3] Körner, Fourier Analysis