OBIETTIVI FORMATIVI

L'insegnamento fornisce le nozioni basilari e gli strumenti di algebra lineare e di geometria analitica nel piano e nello spazio, con particolare riferimento al calcolo vettoriale e alle applicazioni lineari

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Il corso è incentrato sul concetto di spazio vettoriale. Inizialmente sono introdotti alcuni argomenti (numeri complessi, polinomi, matrici, sistemi lineari) che, oltre ad avere una propria rilevanza, facilitano la comprensione dei concetti illustrati successivamente. La teoria così introdotta viene quindi applicata allo studio della geometria nello spazio. Infine, sono illustrati gli aspetti fondamentali della teoria della diagonalizzazione e delle applicazioni lineari.

PREREQUISITI

Conoscenze di aritmetica, algebra, trigonometria e teoria degli insiemi.

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni frontali, durante le quali vengono esposti gli argomenti e svolti esempi ed esercizi.

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Richiami di teoria degli insiemi. Operazioni fra insiemi. Prodotto cartesiano di insiemi. Applicazioni e loro proprietà.
• Strutture algebriche: gruppi, anelli, campi.
• Numeri complessi. Rappresentazione algebrica e trigonometrica di un numero complesso. Formule di Eulero e forma esponenziale di un numero complesso. Radici n-esime di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra. Decomposizione di un polinomio reale e complesso in fattori di grado minimo.
• Sistemi lineari. Algoritmo di Gauss. Matrici associate e caratteristica di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli.
• Matrici. Prodotto righe per colonne. Matrici ridotte. Matrici elementari.  Determinanti. Matrice inversa. 
• Spazi vettoriali.  Sottospazi vettoriali. Indipendenza lineare e sistemi di generatori. Basi e dimensione. 
• Elementi di teoria dei vettori. Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici nello spazio. Prodotto scalare e vettoriale di due vettori. Prodotto misto. Doppio prodotto vettoriale. Riferimento cartesiano ortogonale e vettori.
• Geometria analitica dello spazio. Equazione cartesiana di un piano. Rappresentazioni analitiche di una retta nello spazio. Parallelismo e ortogonalità tra piani, tra rette, tra retta e piano. Rette sghembe e rette complanari. Fasci di piani. Angolo di due rette, di due piani, di una retta ed un piano. Prodotto scalare e basi ortonormali. 
• Trasformazioni lineari, matrice associata. Cambiamenti di coordinate.
• Diagonalizzabilità di un endomorfismo. Autovalori, autovettori ed autospazi. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione di matrici.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• Materiale della docente su AulaWeb
• E. Carlini, M.V. Catalisano, F. Odetti, A. Oneto, M. E. Serpico - Geometria per Ingegneria - Esculapio
• Schlesinger - Algebra lineare e geometria – Zanichelli
• Odetti-Raimondo – Elementi di algebra lineare e geometria analitica – ECIG
• Catalisano, Perelli - Dispense (http://www.diptem.unige.it/catalisano/AppuntiGeometria.pdf )  
• Caligaris, Oliva, Ferrando - Elementi di algebra lineare e geometria analitica (http://web.inge.unige.it/DidRes/Analisi/AMindex.html)