PRESENTAZIONE

Le lezioni si tengono in lingua italiana o in lingua inglese, a scelta degli studenti. Il corso ha un forte carattere multidisciplinare, affrontando, in una prospettiva storica e critica, argomenti a cavallo tra la matematica e la filosofia, dall'Antichità fino al Novecento. 

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

L’insegnamento si pone l’obiettivo di illustrare lo sviluppo storico-concettuale di alcuni temi centrali della matematica, sottolineando le connessioni con altri ambiti del sapere e invitando gli studenti a un ripensamento critico di varie nozioni matematiche di base.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Nel corso si illustrerà lo sviluppo del concetto di infinito matematico, a partire da Euclide e Archimede fino a Cantor, Dedekind, Hilbert, Russell, Brouwer e Gödel. Si discuteranno, oltre agli aspetti propriamente matematici (p.e. il cosiddetto metodo di esaustione, l'emergere del calcolo differenziale,  l'evoluzione della teoria degli insiemi e i suoi "paradossi"), anche varie questioni di carattere più propriamente filosofico. 

MODALITA' DIDATTICHE

Il corso è impostato in modo tradizionale (in presenza).

PROGRAMMA/CONTENUTO

Programma

1. Il problema dell’infinito matematico: introduzione al corso

2. Aristotele: la concezione di infinito potenziale e la categoria della quantità. Numeri e grandezze continue; l’idea di incommensurabilità tra grandezze continue nella matematica greca.

3. Gli Elementi di Euclide: struttura generale, “termini”, “postulati” e “nozioni comuni”. Teoria dei rapporti tra grandezze continue (Libro V); il procedimento dell’anthyphairesis. . Numeri primi e numeri perfetti (Libro IX). La determinazione del volume della piramide (Libro XII) e il cosiddetto metodo di esaustione

4. L’opera di Archimede nel panorama della scienza ellenistica. I metodi indiretti per i processi infiniti: Dimensio circuli, Quadratura parabolae. Arenarius.  Il Metodo; quadratura della parabola mediante una bilancia ideale.

5. L’emergere del concetto di zero e l’algebra indiana (Brahmagupta).

6. Lo sviluppo della matematica nella civiltà islamica. L’algebra di al-Khwārizmī. I metodi infinitesimali (al-Kindī, Banū Mūsā, Thābit ibn-Qurra, (ibn al-Haytham).

7. Infinito e continuità nel pensiero medievale occidentale. La controversia sull’eternità del mondo e il paradosso degli infiniti disuguali. I calculatores di Oxford. Infinito categorematico e sincategorematico.

8. La discussione sul concetto di infinito nei Discorsi e dimostrazioni matematiche di Galileo.

9. Tradizione e rinnovamento nella matematica del Rinascimento. I metodi di quadratura di Kepler. La geometria degli indivisibili di Cavalieri e Torricelli. I logaritmi e la quadratura dell’iperbole.

10. Il problema delle tangenti in Descartes, Fermat e Pascal. I “due infiniti” di Pascal.

11. Wallis e Barrow. Newton: fluenti e flussioni; metodo di inversione delle serie; la nozione di infinitesimo; metodo delle primae et ultimae rationes; il calculus nei Principia. Il calcolo differenziale di Leibniz; il problema dell’infinito e il “labirinto del continuo” nella sua filosofia.

12. Euler: l’infinito e le serie divergenti. Il problema dei fondamenti dell’analisi da d’Alembert a Cauchy. Le osservazioni di Hegel sull’infinito matematico.

13. Bernard Bolzano; Wissenschaftslehre e  Paradoxien des Unendlichen

14. Richard Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen; Was sind und was sollen die Zahlen?

15. Georg Cantor: la nozione di “potenza”; Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (1879-1884) e la teoria degli ordinali; Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (1892);  Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, I-II (1895-1897); l’ipotesi del continuo.

16. L’opera di Frege. I paradossi di Burali-Forti e di Russell. Il principio del buon ordinamento e l’assioma di scelta (Zermelo, 1904 e 1908).  L’assiomatizzazione della teoria degli insiemi.

17. Il “programma” di Hilbert. Il teorema di Löwenheim-Skolem. L’intuizionismo di Brouwer. I teoremi di incompletezza di Gödel. Turing e la questione della computabilità.

18. Conclusioni e prospettive aperte.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

La maggior parte dei testi discussi a lezione e vari altri materiali saranno messi a disposizione degli studenti sul sito Aulaweb.

Si segnalano inoltre le seguenti opere:

- F. Acerbi, Il silenzio delle sirene. La matematica greca antica, Carocci, Roma 2010

- C. Bartocci, Una piramide di problemi. Storie di geometria da Gauss a Hilbert, Raffaello Cortina, Milano 2012.

- C. Bartocci & P. Odifreddi (a cura di). La matematica, vol.  I. I luoghi e i tempi, Einaudi, Torino 2007.

- J. W. Dauben, Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, Princeton 1990.

- J. Ferreirós, Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics, second rev. ed., Birkhäuser, Boston-Basel-Boston 2007.

- I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940, Princeton University Press 2000.

- G. Lolli, La guerra dei trent’anni (1900-1930). Da Hilbert a Gödel, Edizioni ETS, Pisa 2011.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

CLAUDIO BARTOCCI (Presidente)

MARIA CRISTINA AMORETTI

MARCELLO FRIXIONE (Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

STORIA DELLA MATEMATICA

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

La prova d’esame consiste nella preparazione ed esposizione di un “seminario” su un argomento specifico scelto dal/-la candidato/a in accordo con il docente (quest’ultimo provvederà a fornire tutti i materiali di studio necessari). 

ALTRE INFORMAZIONI

Pagina Web dell’insegnamento: http://www.dima.unige.it/~bartocci/csm13/csm13.html

Modalità di frequenza: Consigliata