PRESENTAZIONE

Processi Stocastici (6 CFU): viene presentata la teoria delle catene di Markov, sia a tempi discreti che continui, con particolare riguardo ai Processi di Poisson e alla teoria delle code. Si vuole fornire allo studente la capacità di tradurre in termini di catene di Markov (quando possibile) dei problemi concreti di evoluzione stocastica, costruendo e analizzarando i relativi modelli probabilistici associati.

L'insegnamento contribuisce al raggiungimento degli obiettivi 4 e 5 di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda ONU 2030.

Statistica Matematica (3 CFU, Prof.ssa Riccomagno): si introducono le definizioni ed i concetti principali della statistica matematica classica, dalle nozioni di modello statistico e stimatore puntuale a vari metodi di stima (dei momenti, in verosimiglianza, principio di invarianza) e di valutazione di bontà di uno stimatore. 

L'insegnamento contribuisce al raggiungimento degli obiettivi 1, 4, 5, 8 di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda ONU 2030.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Introdurre le catene di Markov e altri semplici processi stocastici per modellare e risolvere problemi reali di evoluzione stocastica.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Processi Stocastici:

L'obiettivo è quello di far apprendere allo studente il linguaggio delle catene di Markov, in modo che possa essere capace di costruire un modello appropriato per problemi reali di evoluzioni stocastiche markoviane a valori in un insieme finito o numerabile (detto insieme degli stati).

Al termine del corso lo studente dovrà:                                                                                                                                                                -conoscere la teoria generale delle catene di Makov sia a tempo discreto che continuo                                                                                     -saper descrivere in particolare gli stati che il sistema può assumere e le leggi che rimangono invarianti rispetto alle sue evoluzioni                                                                                                                                                                                                 

-tradurre nel linguaggio delle catene di Markov alcune situazioni riguardanti la teoria delle code (ossia la teoria che analizza le modalità di accesso di file di persone ad uno o più servizi), ed essere in grado di studiare l'efficienza del modello.                                                                                

Statistica Matematica:

Fornire le definizioni ed i concetti principali della statistica matematica classica, dalle nozioni di modello statistico e stimatore puntuale a vari metodi di stima (dei momenti, in verosomiglianza, principio di invarianza).

Alla fine del corso lo studente saprà

• riconoscere i problemi di stima parametri e non parametrica in contesti applicativi 
• formularli rigorosamente da un punto di vista matematico
• individuare stimatori di parametri di un modello statistico e studiarne la bontà 
• esporre in modo corretto definizioni, enunciati e dimostrazioni e produrre relativi esempi e controesempi.

PREREQUISITI

Processi Stocastici: Calcolo delle Probabilità

Maggiori dettagli sulla pagina web dell'insegnamento su Aulaweb dell'anno accademico in corso.

Statistica Matematica: Analisi Matematica 1 e 2, Probabilità e Statistica inferenziale

MODALITA' DIDATTICHE

Processi Stocastici: L'insegnamento si svolge in maniera tradizionale, con lezioni frontali di teoria ed esercizi tenute dal docente alla lavagna.                                                                                                                                                          

Durante il periodo delle lezioni verranno fatte due esercitazioni guidate (una a metà e l'altra alla fine) per dare agli studenti la possibilità di capire il loro grado di preparazione e chiarire insieme eventiali dubbi.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma fortemente consigliata.

Statistica Matematica: Lezioni in aula di teoria ed esercizi. 

PROGRAMMA/CONTENUTO

Processi Stocastici:

Catene di Markov a tempo discreto.  Classificazione di stati. Criteri per la transienza e la ricorrenza. Probabilità e tempo medio di assorbimento nelle classi ricorrenti. Leggi invarianti. Teoremi limite. Convergenza verso leggi invarianti.                                           

Applicazioni: Passeggiate aleatorie.

Catene di Markov a tempo continuo. Matrice dei tassi ed equazioni di Chapman-Kolmogorov. Tempo della prima uscita da uno stato della catena, leggi invarianti, catena dei salti, catene di nascita e morte, processo di Poisson.

Cenni alla teoria delle code. Code M/M/k: modellizzazione, stazionarietà, numero medio di clienti nel sistema, tempo medio di permanenza nel sistema. Esempi di code M/M/k/0.

Statistica Matematica:

Richiami di Calcolo delle Probabilità: densità condizionata e valore atteso condizionato, distribuzione normale multivariata.
Modelli e statistiche: campione e modello statistico, identificabilità, modelli regolari, il modello di classe esponenziale. Statistiche e distribuzioni campionarie. Statistiche sufficienti, minimali, ancillari e complete. Il lemma di Neyman-Fisher ed il teorema di Basu.
Stimatori e loro proprietà: trovare stimatori puntuali: metodo dei momenti, metodo dei minimi quadrati, stima di massima verosimiglianza e sue proprietà. 

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Processi Stocastici:

P. Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

W. Feller, An introduction to Probability Theory and its Applications

S. Karlin, H.M. Taylor, A First Course in Stochastic Processes.

S. Karlin, H.M. Taylor, A Second Course in Stochastic Processes.

S.M. Ross, Introduction to Probability Models.

G. Grimmett, D. Stirzaker, (2001). Probability and Random Processes. 

J.R. Norris. Markov Chains.

P. Brémaud. Markov Chains: Gibbs Fields, Montecarlo Simulation, and Queues.

Dispense.

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale su aulaweb sono sufficienti per la preparazione dell'esame.

Statistica Matematica:

G. Casella e R.L. Berger, Statistical inference, Wadsworth 62-2002-02/09
D. A. Freedman, Statistical Models, Theory and Practice, Cambridge 62-2009-05

L. Pace e A. Salvan, Teoria della statistica, CEDAM 62-1996-01   
M. Gasparini, Modelli probabilistici e statistici, CLUT 60-2006-08   
D. Dacunha-Castelle e M. Duflo, Probabilites et Statistiques, Masson 60-1982-18/19/26 e 60-1983-22/23/24   
A.C. Davison. Statistical Models, Cambridge University Press, Cambridge, 2003 

Letture consigliate:

D.J. Hand, A very short introduction to Statistics, Oxford 62-2008-05
L. Wasserman. All of Statistics, Springer 
J. Protter, Probability Essentials, Springer 60-2004-09 
S.L. Lauritzen, Graphical models, Oxford University press 62-1996-14 
D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1991

Appunti dei docenti su aulaweb.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

VERONICA UMANITA' (Presidente)

DAMIANO POLETTI

EMANUELA SASSO (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Processi Stocastici: L’esame si compone di una parte scritta e una orale. Lo scritto dovrà essere effettuato prima della prova orale e potrà essere sostenuto sia in appelli precedenti, che nello stesso appello in cui lo studente intende sostenere l’esame orale. La prova scritta verrà ritenuta valida fino all’appello del mese di settembre dell’anno accademico in cui è stata sostenuta. Dopo tale data, lo studente dovrà ripetere la prova scritta.  L'esame scritto è superato solo con voto maggiore o uguale a 18.                                              La prova scritta prevede 2 esercizi, uno sulla parte discreta a l'altro su quella continua. La durata della prova è di 3 ore ed è possibile consultare gli appunti del corso (compresi gli esercizi svolti in aula) e le dispense.

La prova orale verterà sull'esposizione di argomenti teorici, dimostrazioni ed esercizi. In particolare agli studenti della LM in Matematica verrà anche chiesta una dimostrazione tra quelle non svolte a lezione ma segnalate dal docente.

Per partecipare alla prova scritta bisogna iscriversi sul sito di UNIGE (https://servizionline.unige.it/studenti/esami/prenotazione).

Saranno disponibili 2 appelli di esame per la sessione invernale (gennaio-febbraio) e 3 appelli per quella estiva (giugno, luglio e settembre). Per gli studenti di Smid è previsto anche un appello verso la metà dicembre. Non verranno concessi appelli straordinari al di fuori di quelli indicati nel regolamento del Corso di Studio, fatta eccezione per gli studenti fuori corso.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

Statistica Matematica: L'esame consiste in una prova scritta e una prova orale. 

Per gli studenti di Smid il voto finale sarà dato dalla media pesata rispetto ai CFU dei voti relativi alle due parti dell'insegnamento.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Processi Stocastici: Le prove servono a valutare l'apprendimento e la comprensione generale degli argomenti trattati, e la capacità di applicare tali concetti. A tal fine, nella prova scritta si richiede di giustificare in modo chiaro quanto scritto.                                                    Durante la prova orale si valuta l'esposizione appropriata della teoria vista a lezione, la capacità di ragionare e dimostrare i principali risultati ottenuti, di svolgere gli esercizi proposti e di saper trovare esempi e controesempi.

Statistica Matematica: Nella prova scritta si valuta il grado di apprendimento degli argomenti, la capacità di applicare la teoria nella risoluzione di esercizi esemplificativi di situazioni reali. 

Nella prova orale si valutano le capacità espositive, di comprensione e rielaborazione degli aspetti teorici della materia. 

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Si invitano caldamente gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali a contattare la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

Su richiesta degli studenti, le lezioni e/o l'esame possono essere svolti in inglese.