PRESENTAZIONE

Le lezioni si tengono in lingua italiana o in lingua inglese, a scelta delle/gli studentesse/i. Il corso ha un forte carattere multidisciplinare, affrontando, in una prospettiva storica e critica, argomenti a cavallo tra la matematica e la filosofia, dall'Antichità fino al Novecento. 

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

L’insegnamento si pone l’obiettivo di illustrare lo sviluppo storico-concettuale di alcuni temi centrali della matematica, sottolineando le connessioni con altri ambiti del sapere e invitando gli studenti a un ripensamento critico di varie nozioni matematiche di base.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Nel corso si illustrerà lo sviluppo del concetto di infinito matematico, a partire da Euclide e Archimede fino a Cantor, Dedekind, Hilbert, Russell, Brouwer e Gödel. Si discuteranno, oltre agli aspetti propriamente matematici (p.e. il cosiddetto metodo di esaustione, l'emergere del calcolo differenziale,  l'evoluzione della teoria degli insiemi e i suoi "paradossi"), anche varie questioni di carattere più propriamente filosofico (p.e. l'idea di infinito in Leibniz, Hegel e Bolzano), 

MODALITA' DIDATTICHE

Il corso è impostato in modo tradizionale (in presenza).

PROGRAMMA/CONTENUTO

Programma

1. Il problema dell’infinito matematico: introduzione al corso

2. Aristotele: la concezione di infinito potenziale e la categoria della quantità. Numeri e grandezze continue; l’idea di incommensurabilità tra grandezze continue nella matematica greca.

3. Gli Elementi di Euclide: struttura generale, “termini”, “postulati” e “nozioni comuni”. Teoria dei rapporti tra grandezze continue (Libro V); il procedimento dell’anthyphairesis. . Numeri primi e numeri perfetti (Libro IX). La determinazione del volume della piramide (Libro XII) e il cosiddetto metodo di esaustione

4. L’opera di Archimede nel panorama della scienza ellenistica. I metodi indiretti per i processi infiniti: Dimensio circuli, Quadratura parabolae. Arenarius.  Il Metodo; quadratura della parabola mediante una bilancia ideale.

5. L’emergere del concetto di zero e l’algebra indiana (Brahmagupta).

6. Lo sviluppo della matematica nella civiltà islamica. L’algebra di al-Khwārizmī. I metodi infinitesimali (al-Kindī, Banū Mūsā, Thābit ibn-Qurra, (ibn al-Haytham).

7. Infinito e continuità nel pensiero medievale occidentale. La controversia sull’eternità del mondo e il paradosso degli infiniti disuguali. I calculatores di Oxford. Infinito categorematico e sincategorematico.

8. La discussione sul concetto di infinito nei Discorsi e dimostrazioni matematiche di Galileo.

9. Tradizione e rinnovamento nella matematica del Rinascimento. I metodi di quadratura di Kepler. La geometria degli indivisibili di Cavalieri e Torricelli. I logaritmi e la quadratura dell’iperbole.

10. Il problema delle tangenti in Descartes, Fermat e Pascal. I “due infiniti” di Pascal.

11. Wallis e Barrow. Newton: fluenti e flussioni; metodo di inversione delle serie; la nozione di infinitesimo; metodo delle primae et ultimae rationes; il calculus nei Principia. Il calcolo differenziale di Leibniz; il problema dell’infinito e il “labirinto del continuo” nella sua filosofia.

12. Euler: l’infinito e le serie divergenti. Il problema dei fondamenti dell’analisi da d’Alembert a Cauchy. Le osservazioni di Hegel sull’infinito matematico.

13. Bernard Bolzano; Wissenschaftslehre e  Paradoxien des Unendlichen

14. Richard Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen; Was sind und was sollen die Zahlen?

15. Georg Cantor: la nozione di “potenza”; Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (1879-1884) e la teoria degli ordinali; Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (1892);  Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, I-II (1895-1897); l’ipotesi del continuo.

16. L’opera di Frege. I paradossi di Burali-Forti e di Russell. Il principio del buon ordinamento e l’assioma di scelta (Zermelo, 1904 e 1908).  L’assiomatizzazione della teoria degli insiemi.

17. Il “programma” di Hilbert. Il teorema di Löwenheim-Skolem. L’intuizionismo di Brouwer. I teoremi di incompletezza di Gödel. Turing e la questione della computabilità.

18. Conclusioni e prospettive aperte.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

La maggior parte dei testi discussi a lezione e vari altri materiali saranno messi a disposizione degli studenti sul sito Aulaweb.

Si segnalano inoltre le seguenti opere:

- F. Acerbi, Il silenzio delle sirene. La matematica greca antica, Carocci, Roma 2010

- C. Bartocci, Una piramide di problemi. Storie di geometria da Gauss a Hilbert, Raffaello Cortina, Milano 2012.

- C. Bartocci & P. Odifreddi (a cura di). La matematica, vol.  I. I luoghi e i tempi, Einaudi, Torino 2007.

- J. W. Dauben, Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, Princeton 1990.

- J. Ferreirós, Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics, second rev. ed., Birkhäuser, Boston-Basel-Boston 2007.

- I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940, Princeton University Press 2000.

- G. Lolli, La guerra dei trent’anni (1900-1930). Da Hilbert a Gödel, Edizioni ETS, Pisa 2011.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

CLAUDIO BARTOCCI (Presidente)

MARIA CRISTINA AMORETTI

MARCELLO FRIXIONE (Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

II semestre 2025

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

La prova d’esame consiste nella preparazione ed esposizione di un “seminario” su un argomento specifico scelto dal/-la candidato/a in accordo con il docente (quest’ultimo provvederà a fornire tutti i materiali di studio necessari). 

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Esame orale 

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Pagina Web dell’insegnamento: http://www.dima.unige.it/~bartocci/csm13/csm13.html

Modalità di frequenza: Consigliata