PRESENTAZIONE

L'insegnamento introduce ai concetti di base sull'uso del calcolatore per risolvere problemi di matematica applicata (in particolare, soluzione di sistemi lineari e approssimazione di dati) e fornisce nozioni basilari di algebra lineare con particolare riguardo al calcolo matriciale, agli spazi vettoriali, alla risoluzione di sistemi lineari e  alla forma canonica di matrici..

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Acquisire le nozioni di base dell'algebra lineare (vettori, matrici, trasformazioni lineari e autovalori) e del calcolo numerico (complessità ed errore). Assimilare i principali metodi computazionali per la risoluzione di problemi dell'algebra lineare numerica e di alcuni problemi di approssimazione.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Al termine dell’insegnamento chi supera l'esame sarà in grado di:

• Conoscere i fondamenti del calcolo numerico e sapere valutare il condizionamento di semplici problemi matematici e costo computazionale e stabilità per alcuni algoritmi basilari, in particolare nel caso della risoluzione di sistemi lineari. 
• Applicare la teoria delle matrici e il calcolo vettoriale a problemi di calcolo numerico.
• Comprendere le relazioni fondamentali tra algebra lineare e geometria, conoscere lo strumento delle matrici ortogonali e saperle usare per algoritmi di riduzione, comprendere il concetto di autovalori e saperli calcolare per matrici di piccola dimensione.
• Comprendere il concetto di approssimazione nelle varie forme, conoscere alcune tecniche e saper risolvere problemi lineari ai minimi quadrati.
• Implementare sul calcolatore alcuni algoritmi numerici e valutare l'attendibilità dei risultati.

PREREQUISITI

Nell'insegnamento ALGEBRA LINEARE E ANALISI NUMERICA si assumono come prerequisiti i contenuti dei seguenti corsi:

• CALCOLO DIFFERENZIALE E INTEGRALE
• INTRODUZIONE ALLA PROGRAMMAZIONE
• ALGEBRA E LOGICA PER INFORMATICA 

MODALITA' DIDATTICHE

Lezioni svolte principalmente in aula (salvo restrizioni dovute all'emergenza sanitaria) con 2 esercitazioni in laboratorio nell'orario ufficiale.

E' inoltre a disposizione (se verrà confermata l'assegnazione di un supporto alla didattica) un esercitatore per l'assistenza in laboratorio per 2 ore settimanali fuori dall'orario ufficiale, a partire da metà semestre.

La frequenza alle lezioni è altamente consigliata.

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Analisi degli errori
  • Cenni rappresentazione in base 2.
  • Numeri di macchina e precisione di macchina.
  • Errore inerente. Stima per funzioni razionali.
  • Errore algoritmico.
  • Errore totale.
• Nozioni basilari di algebra lineare e soluzione numerica di sistemi lineari non singolari
  • Operazioni tra matrici e matrici invertibili
  • Eliminazione di Gauss per la risoluzione di sistemi lineari
  • Determinanti e caratteristica di una matrice. Teorema di Laplace. Teorema di Cramer. Caratteristica di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli.
  • Condizionamento di matrici.
  • Studio della complessità e dell'errore algoritmico per la soluzione di sistemi lineari.
• Complementi di algebra lineare: interpretazione geometrica di vettori e matrici
  • Prodotto scalare e basi ortonormali.
  • Le matrici come trasformazioni lineari geometriche.
  • Nucleo, immagine e rango.
  • Matrici ortogonali: rotazioni, riflessioni, fattorizzazione QR.
• Soluzione approssimata di sistemi lineari nel senso dei minimi quadrati
  • Inquadramento geometrico del problema.
  • Equazioni normali.
  • Risoluzione del problema ai minimi quadrati tramite ortogonalizzazione.
• Interpolazione con funzioni spline
  • Definizione di spline interpolante.
  • Procedimento di calcolo.
  • Cenno alle proprietà matematiche e numeriche.
• Complementi di algebra lineare: autovalori
  • Autovalori, autovettori, autospazi.
  • Polinomio caratteristico.
  • Relazioni di similitudine e diagonalizzazione; il caso di matrici simmetriche.
  • Applicazioni.
• SVD e applicazioni ai minimi quadrati
  • Decomposizione ai valori singolari (SVD) e relazioni con gli autovalori.
  • Proprietà geometriche della SVD e relazioni col rango.
  • Inversa generalizzata e condizionamenti.
  • Risoluzione del problema ai minimi quadrati tramite SVD.
  • Applicazione all’approssimazione di dati discreti (smoothing).
• Trattamento numerico degli autovalori
  • Proprietà numeriche: cenni a condizionamento e localizzazione.
  • Metodo iterativo delle potenze e varianti (cenni).
  • Cenno ad altri metodi numerici: riduzione per similitudine a forma semplificata, metodo QR.

Sono previste (compatibilmente con la disponibilità di un supporto alla didattica) esercitazioni al calcolatore in linguaggio C e in linguaggio Matlab.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Per le parti del programma relative all'algebra lineare, su Aulaweb sono a disposizione dello studente:
1. Appunti di Geometria e Calcolo numerico (A. Perelli e M.V. Catalisano)
2. Appunti di Geometria (G. Niesi)
Si consiglia come testo di riferimento:  Algebra Lineare a Geometria Analitica (F. Odetti, M. Raimondo), ECIG Universitas.

Per le parti del programma a contenuto prevalentemente numerico, i testi reperibili sono generalmente sovradimensionati rispetto al corso e pertanto si consiglia di utilizzare principalmente gli appunti presi a lezione. In particolare, sono disponibili su Aulaweb gli appunti del corso presi dallo studente Stefano Sabatini nell'a.a. 2010-11 e controllati dal docente. A puro titolo di consultazione, si può comunque fare riferimento ai libri
G.Monegato, Fondamenti di Calcolo Numerico. CLUT, Torino, 1998.
D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l' Algebra Lineare. Zanichelli, 1988
R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici. Zanichelli, 1992.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

FABIO DI BENEDETTO (Presidente)

DANIELE PEDEMONTE

FEDERICO BENVENUTO (Presidente Supplente)

MATTEO VARBARO (Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario didattico approvato dal Consiglio dei Corsi di Studio in Informatica: https://corsi.unige.it/corsi/8759/studenti-orario

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Per dare l'esame occorre sostenere (in qualunque ordine)

•     la prova scritta (volta anche ad accertare in modo specifico la preparazione dello studente sulle parti teoriche);
•     (se verrà confermata l'assegnazione di un supporto alla didattica) la prova di laboratorio sulla seconda parte.

Il voto d'esame è rappresentato dalla somma dei punteggi della prova scritta e del laboratorio.

Indicazioni per studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali sono disponibili a partire da https://corsi.unige.it/corsi/8759/studenti-disabilita-dsa

 

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

PROVA SCRITTA

Alla prova (durata 2 ore e 30 minuti) viene assegnato un punteggio massimo pari a 27; in caso di punteggio finale con arrotondamento inferiore a 18, si ritiene non superata. 

Prevede domande teoriche ed esercizi per verificare il raggiungimento degli obiettivi di apprendimento descritti nell'apposita sezione.

A inizio testo vengono specificati quali parti degli esercizi sono inerenti ai concetti basilari dell'algebra lineare: per superare lo scritto, è richiesto di conseguire almeno metà punteggio su queste parti specifiche.

Qualora sia necessario lo svolgimento dello scritto in modalità online, consultare le istruzioni specifiche che saranno rese disponibili su Aulaweb.

PROVA DI LABORATORIO (se presente)

La valutazione si basa su una serie di 4 esercitazioni che si svolgeranno durante il corso. Per ogni esercitazione, ogni gruppo dovrà consegnare il codice prodotto, i risultati ottenuti e una relazione che li descriva. E' prevista una parte in C, la cui consegna sarà obbligatoria per passare l'esame, che verrà valutata da 0 a 3 punti e una parte in Matlab, la cui consegna sarà facoltativa, che verrà valutata da 0 a 2 punti. Le consegne verranno valutate tenendo conto dei seguenti aspetti in ordine decrescente di importanza:

1.     Codice funzionante che produce risultati sensati (requisito minimo per il superamento della prova con 0 punti);
2.     Efficacia, chiarezza e leggibilità nella presentazione dei risultati nella relazione;
3.     Spiegazione e giustificazione dei risultati, alla luce della teoria;
4.     Stile e leggibilità dei programmi;
5.     Efficienza di calcolo dei programmi.

ALTRE INFORMAZIONI

Per ulteriori informazioni, consultare il modulo Aulaweb dell'insegnamento o contattare il docente.