PRESENTAZIONE

Algebra 3 tratta delle nozioni di base dell'algebra commutativa e degli aspetti algoritmici e computazionali ad essi associati. In particolare viene presentata la nozione di anello e modulo Noetheriano, di algebra e successivamente vengono introdotte le basi di Groebner che vengono applicate per la risoluzione computazionale di problemi relativi agli oggetti polinomiali sia in maniera teorica che in laboratorio.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo dell’insegnamento è far apprendere i concetti di base dell'algebra commutativa ed gli aspetti computazionali  ad essi correlati.
In particolare vengono discusse le nozioni di anello Noetheriano, modulo, base di Groebner e si presentano alcuni  metodi risolutivi  dei    sistemi di equazioni polinomiali.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Algebra 3 si propone di fornire agli studenti le nozioni di base relative a:
1) Anelli e moduli Noetheriani
2) Algebre
3)  Basi di Groebner e loro utilizzo per il calcolo simbolico
4) Algoritmi relativi al calcolo ed uso delle basi di Groebner.

I risultati di apprendimento attesi sono:

1) Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono in grado di riconoscere un anello o un modulo Noetheriano e di illustrare le sue proprietà salienti anche attraverso la riproduzione delle principali dimostrazioni ad essi associate.

2) Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono in grado di risolvere esercizi relativi ad ideali, algebre e moduli con struttura particolare come per esempio gli ideali monomiali o i moduli sui PID.

3) Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono in grado di illustrare come l'utilizzo delle basi di Groebner consenta di risolvere algoritmicamente  problemi come l' appartenenza di un polinomio ad un ideale o al suo radicale,  il calcolo dell'intersezione fra ideali e delle loro sizigie, l'eliminazione di variabili e il calcolo di nuclei di omomorfismi di algebre.

4)  Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono  in grado di decidere algortimicamente se un sistema di equazioni polinomiali ha soluzioni e di descriverle per quanto possibile esplicitamente.  

5) Al termine di Algebra 3 la studentessa e lo studente sono  in grado di programmare sistemi di calcolo simbolico come CoCoA5 per risolvere problemi computazionali concreti. 

PREREQUISITI

I prerequisiti riguardano la conoscenza delle strutture algebriche di base quali spazi vettoriali, gruppi ed anelli.

MODALITA' DIDATTICHE

L’insegnamento è articolato in 

1) lezioni frontali svolte dai docenti in cui verrà esposta la teoria, che verrà applicata ad esempi concreti ed illustrata attraverso la risoluzione di esercizi. 

2) lezioni in laboratorio computazione in cui i docenti esporranno l'utilizzo pratico degli algoritmi studiati ed illustrati nelle lezioni di teoria.

Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre prima inserire la certificazione sul sito web di Ateneo alla pagina servizionline.unige.it nella sezione “Studenti”. La documentazione sarà verificata dal Settore servizi per l’inclusione degli studenti con disabilità e con DSA dell’Ateneo.

Successivamente, con significativo anticipo (almeno 7 giorni) rispetto alla data di esame occorre inviare una e-mail al/alla docente con cui si sosterrà la prova di esame, inserendo in copia conoscenza sia il docente Referente di Scuola per l'inclusione degli studenti con disabilità e con DSA (sergio.didomizio@unige.it) sia il Settore sopra indicato. Nella e-mail occorre specificare:

• la denominazione dell’insegnamento

• la data dell'appello

• il cognome, nome e numero di matricola dello studente

• gli strumenti compensativi e le misure dispensative ritenuti funzionali e richiesti.

Il/la referente confermerà al/alla docente che il/la richiedente ha diritto a fare richiesta di adattamenti in sede d'esame e che tali adattamenti devono essere concordati con il/la docente. Il/la docente risponderà comunicando se sia possibile utilizzare gli adattamenti richiesti.

Le richieste devono essere inviate almeno 7 giorni prima della data dell’appello al fine di consentire al/alla docente di valutarne il contenuto. In particolare, nel caso in cui si intenda usufruire di mappe concettuali per l’esame (che devono essere molto più sintetiche rispetto alle mappe usate per lo studio) se l’invio non rispetta i tempi previsti non vi sarà il tempo tecnico necessario per apportare eventuali modifiche.

Per ulteriori informazioni in merito alla richiesta di servizi e adattamenti consultare il documento: Linee guida per la richiesta di servizi, di strumenti compensativi e/o di misure dispensative e di ausili specifici.

Le studentesse e gli studenti e gli studenti impossibilitati a frequentare le lezioni  sono invitati a contattare i docenti per concordare incontri a loro dedicati e materiale specifico.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Anelli e ideali e moduli. Anelli e moduli Noetheriani. Algebre su un anello.  Il teorema della base di Hilbert. Proprietà universlae dell'anello dei polinomi in più variabili a coefficienti in un anello. Ideali monomiali.  Il teorema di struttura dei moduli su anelli PID.

Ordinamento, basi di Gröbner,  e divisione con resto. S-coppie e sizigie. Criterio ed algoritmo di Buchberger. Compatibilità di proprietà strutturali con l'algoritmo di Buchberger. Aspetti computazionali e implementativi delle basi di Groebner. Soluzioni algoritmiche dei seguenti problemi visti sia dal punto di vista teorico che in laboratorio computazioninale: 1) Appartenenza di un polinomio ad un ideale. 2) Appartenenza di un polinomio al radicale di  ideale 3) Calcolo delle sizigie 4)  Intersezione di ideali. 5) Eliminazione polinomiale. 6) Calcolo di nuclei di mappe fra algebre e fra moduli. 7) Soluzioni di sistemi di equazioni polinomiali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Computational Commutative Algebra 1
Authors: Kreuzer, Martin, Robbiano, Lorenzo
Springer 2000.

Note informali di algebra computazionale. Aldo Conca 2020. (disponibili su aulaweb)

Note informali di algebra commutativa. Matteo Varbaro  2022. (disponibili su aulaweb)

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

22 settembre 2025 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova di laboratorio computazionale ed una prova orale. La prova di laboratorio viene svolta per prima della prova orale.  La prova di laboratorio, se superata con esito positivo,  da diritto ad accedere alla prova orale. La prova orale ha una durata di circa 60 minuti e consiste di due parti da circa 30 minuti ciascuna relative alle due parti principali del programma. 

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova orale consiste in

1) la  discussione di una nozione di base fra quelle presentate nel prima parte del corso,  illustrata attraverso esempi rilevanti e dimostrazioni.

2)  la discussione ed illustrazione di uno dei problemi computazionali  di base e la sua soluzione algoritmica mediante l'utilizzo delle basi di Groebner con relative dimostrazioni, procedure algoritmiche ed esempi salienti.

La parte di laboratorio consiste nella scrittura di programmi di calcolo simbolico mediante CoCoA5 per la risoluzione di due problemi concreti.

ALTRE INFORMAZIONI

Modalità di frequenza: Consigliata.

La frequenza è altamente consigliata in quanto le lezioni e le esercitazioni di laboratorio risultano fondamentali per comprendere gli argomenti trattati. Questi sono infatti un misto di teoria e pratica algebrica, spesso motivate da considerazioni euristiche che non  si trovano esposte nei testi.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il  Settore Servizi di supporto alla disabilità e agli studenti con DSA ed i docenti del corso per avere informazioni sulle modalità  d’esame e di apprendimento proposte ed in particolare degli  idonei strumenti compensativi.