PRESENTAZIONE

Il termine “problema inverso” indica una vasta classe di problemi in cui occorre determinare la causa di un determinato fenomeno a partire dalla misura dei suoi effetti. Il corso introduce alla matematica dei problemi inversi presentando la teoria della regolarizzazione per operatori lineari tra spazi di Hilbert, rappresentativi delle mappe "causa-effetto". La soluzione di tali problemi è di fondamentale importanza nelle applicazioni, dall’elaborazione dei segnali all’apprendimento da esempi.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

L'insegnamento consente agli studenti di acquisire le conoscenze basilari, sia di carattere teorico che applicativo, per la soluzione dei problemi inversi. Lo studente sarà infatti in grado di comprendere il concetto di mal-posizione di un problema inverso lineare e di applicare a tali problemi i principali metodi numerici di regolarizzazione, sia di tipo analitico che statistico. A tale scopo, insieme a lezioni frontali inerenti la teoria, è prevista attività di laboratorio computazionale. Importanti esempi di problemi inversi in ambito applicativo sono la diagnostica per immagini (Tomografia Assiale Computerizzata), il telerilevamento satellitare in climatologia, la tomografia acustica oceanografica e l'analisi non distruttiva in ingegneria civile, la ricostruzione e il riconoscimento di immagini, l'apprendimento automatico da esempi.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L’insegnamento ha lo scopo di fornire agli studenti gli strumenti matematici di base necessari alla comprensione di problemi inversi lineari e della loro risoluzione numerica in ambito applicativo. A tale scopo, insieme a lezioni frontali inerenti la teoria, è prevista attività di laboratorio al computer.

Al termine del corso lo studente avrà acquisito conoscenze teoriche sufficienti

• ad identificare i principali modelli matematici associati a problemi malposti;
• ad utilizzare ​strumenti propri dell’analisi funzionale, quali la teoria degli operatori lineari in spazi di dimensione infinita, per risolvere problemi inversi;
• a comprendere e classificare i metodi di regolarizzazione alla Tikhonov e i metodi di regolarizzazione iterativa;
• a comprendere l'interpretazione probabilistica della regolarizzazione dei problemi inversi;
• a comprendere i criteri di ottimalità per la scelta della miglior approssimazione;
• a utilizzare le tecniche per la stima dell’approssimazione ottima, sia di tipo deterministico che statistico;
• a risolvere problemi inversi lineari con l’uso della regolarizzazione spettrale in coppia con la scelta ottimale del parametro di regolarizzazione;
• ad applicare strumenti matematici di risoluzione numerica nell’ambito dei problemi di deconvoluzione di immagini e di problemi inversi dinamici, in cui l'incognita varia nel tempo.

PREREQUISITI

Gli strumenti matematici necessari alla comprensione degli argomenti trattati sono forniti nel corso. Per una comprensione approfondita può comunque risultare utile avere qualche rudimento di:

• teoria degli operatori lineari in spazi di Hilbert;
• metodi iterativi per sistemi lineari;
• probabilità e statistica.

MODALITA' DIDATTICHE

L’attività didattica è costituita:

• da lezioni frontali in modalità tradizionale, per un totale di 42 ore, nelle quali vengono introdotti e spiegati gli argomenti nella loro impostazione teorica classica;
• da ulteriori 10 ore di attività di laboratorio computazionale, nelle quali gli strumenti di teoria vengono applicati alla risoluzione di problemi inversi in ambito applicativo.

La frequenza, sebbene non obbligatoria, è fortemente consigliata.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Il programma verte sui seguenti argomenti principali:

• Operatori lineari su spazi di Hilbert: operatori con range chiuso e non chiuso, operatore inverso, operatori compatti e risoluzione spettrale di operatori autoaggiunti.
• Problemi mal posti, inversa generalizzata. Caso degli operatori compatti. Sistema singolare.
• Metodi di regolarizzazione: algoritmi di regolarizzazione nel senso di Tikhonov, studio teorico mediante risoluzione spettrale.
• Metodi iterativi regolarizzanti: metodo di Landweber e metodo del gradiente coniugato.
• Problemi di ricostruzione di immagini e deconvoluzione. Filtri spettrali. Vengono analizzati i metodi di regolarizzazione già esposti adattati all’utilizzo degli strumenti propri dell’analisi di Fourier.
• Approccio statistico ai problemi inversi e metodi di scelta del parametro di regolarizzazione.
• Approccio Bayesiano e Maximum Likelihood.
• Rischio predittivo, Generalized Cross Validation, Curva L per rumore gaussiano.
• Condizioni di ottimalità di Karush Khun Tucker e metodo di Expectation-Maximization per il rumore di Poisson.

Si considera parte integrante del corso la sperimentazione numerica effettuata in Laboratorio utilizzando il linguaggio Matlab.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale scaricabile dalla pagina web del corso sono sufficienti per la preparazione dell'esame. Più in dettaglio, possono risultare utili i testi seguenti:

• C. Estatico, Gradiente coniugato e regolarizzazione di problemi mal posti (Quaderni del Gruppo Nazionale per l’Informatica Matematica, C.N.R., I.N.d.A.M., 1996) 
• M.Bertero, P. Boccacci, Introduction to Inverse Problems in Imaging (IOP, Bristol, 1996)
• C.W.Groetsch, Generalized Inverses of Linear Operators (New York and Basel: Marcel Dekker Inc., USA, 1997)
• H.W. Engl, M. Hanke, A. Neubauer, Regularization of Inverse Problems (Kluwer academic Publishers, 1996)
• C. Vogel, Computational methods for inverse problems (SIAM, 2002).

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio del Corso di Studi, reperibile in

https://corsi.unige.it/corsi/11907/studenti-orario

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova orale. In alcuni casi potrà essere discussa un’attività svolta in laboratorio computazionale.

Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre prima inserire la certificazione sul sito web di Ateneo alla pagina servizionline.unige.it nella sezione “Studenti”. La documentazione sarà verificata dal Settore servizi per l’inclusione degli studenti con disabilità e con DSA dell’Ateneo.

Successivamente, con significativo anticipo (almeno 7 giorni) rispetto alla data di esame occorre inviare una e-mail al/alla docente con cui si sosterrà la prova di esame, inserendo in copia conoscenza sia il docente Referente di Scuola per l'inclusione degli studenti con disabilità e con DSA ( sergio.didomizio@unige.it ) sia il Settore sopra indicato. Nella e-mail occorre specificare:

•            la denominazione dell’insegnamento

•            la data dell'appello

•            il cognome, nome e numero di matricola dello studente

•            gli strumenti compensativi e le misure dispensative ritenuti funzionali e richiesti.

Il/la referente confermerà al/alla docente che il/la richiedente ha diritto a fare richiesta di adattamenti in sede d'esame e che tali adattamenti devono essere concordati con il/la docente. Il/la docente risponderà comunicando se sia possibile utilizzare gli adattamenti richiesti.

Le richieste devono essere inviate almeno 7 giorni prima della data dell’appello al fine di consentire al/alla docente di valutarne il contenuto. In particolare, nel caso in cui si intenda usufruire di mappe concettuali per l’esame (che devono essere molto più sintetiche rispetto alle mappe usate per lo studio) se l’invio non rispetta i tempi previsti non vi sarà il tempo tecnico necessario per apportare eventuali modifiche.

Per ulteriori informazioni in merito alla richiesta di servizi e adattamenti consultare il documento: Linee guida per la richiesta di servizi, di strumenti compensativi e/o di misure dispensative e di ausili specifici.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova orale verte principalmente sugli argomenti di carattere teorico svolti dai docenti, e si prefigge di accertare la comprensione degli stessi, anche mediante la discussione e la giustificazione intuitiva dei concetti analitici e degli esempi applicativi. In alcuni casi potrà anche essere valutato un elaborato scritto di laboratorio.

ALTRE INFORMAZIONI

Rivolgersi ai docenti per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento.