Questo insegnamento illustra i fondamenti della teoria dei campi e della teoria di Galois, una teoria matematica sviluppata all’inizio del diciannovesimo secolo per studiare la risolubilità delle equazioni algebriche.
Motivati da problemi classici come la ricerca di una formula per le soluzioni di un’equazione di quinto grado o la costruzione con riga e compasso di un poligono regolare con 7 lati, mostreremo come associare ad un’estensione di campi un gruppo di permutazioni. Questa associazione stabilisce una corrispondenza molto profonda tra gruppi e campi, che fornisce una sorta di dizionario per trasportare concetti e proprietà dalla teoria dei campi a quella dei gruppi e viceversa.
In questo modo potremo tradurre problemi di teoria dei campi come la risoluzione delle equazioni di quinto grado in un problema di teoria dei gruppi, ed affrontarlo nel mondo dei gruppi.
Il contenuto di questo insegnamento è molto classico, ma contiene anche spunti verso sviluppi piú moderni della teoria.
Fornire una conoscenza approfondita sulle estensione dei campi e della teoria di Galois, in particolare approfondire alcune applicazioni campi ciclotomici e risolubilità per radicali di equazioni algebriche.
Lo scopo dell’insegnamento è quello di:
Al termine dell’insegnamento lo studente sarà in grado di:
È richiesta la completa padronanza dei contenuti dei corsi di algebra dei primi due anni.
Lezioni ed esercitazioni frontali. Solo in rari casi di necessità video-lezioni su Teams.
Si consiglia agli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.
Estensioni di campi e loro proprietà di base.
Chiusura algebrica di un campo: teorema di esistenza e unicità. Costruzione di Kronecker.
Campi di spezzamento ed estensioni normali.
Estensioni separabili, inseparabili e puramente inseparabili. Teorema dell’elemento primitivo.
Estensioni di Galois. Gruppo di Galois e corrispondenza di Galois per estensioni finite.
Gruppi profiniti e topologia di Krull. Corrispondenza di Galois per estensioni infinite.
Gruppo di Galois di un’equazione. Estensioni ciclotomiche. Equazione generica di grado n.
Indipendenza lineare di caratteri. Traccia e norma. Teorema 90 di Hilbert. Accenni di coomologia di gruppi. Estensioni cicliche e teoria di Kummer.
Gruppi risolubili. Estensioni risolubili e risolubili per radicali.
Ulteriori esempi, approfondimenti ed applicazioni.
Alcuni testi consigliati:
Algebra S. Bosch
Algebra S. Lang
Algebra M. Artin
Class Field Theory J. Neukirch
Ricevimento: L'orario del ricevimento settimanale sarà indicato su Aulaweb.
In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.
https://corsi.unige.it/corsi/9011/studenti-orario
L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy
L’esame consiste di una prova scritta e di una prova orale.
La prova scritta avrà una durata compresa tra le 2 e le 3 ore, e prevederà la scrittura di dimostrazioni.
Il superamento della prova scritta consentirà l’ammissione alla prova orale all’interno della stessa sessione (estiva/autunnale/invernale) di esami.
La prova scritta consisterà in problemi dimostrativi per accertare la capacità di calcolare in casi concreti gli oggetti matematici visti a lezione e di applicare le nozioni teoriche alla risoluzione di nuovi problemi.
La prova orale verterà su tutto il contenuto delle lezioni, comprenderà definizioni e dimostrazioni viste a lezione ed eventualmente lo svolgimento di nuovi esercizi; si terrà conto della chiarezza espositiva e dell’uso accurato del lessico matematico.
Rivolgersi al docente per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento o nella pagina di Aulaweb.
