PRESENTAZIONE

L'insegnamento presenta i fondamenti matematici della probabilità utilizzando alcuni elementi della teoria della misura astratta e fornisce gli strumenti per modellare in modo matematicamente rigoroso fenomeni aleatori. L'approccio teorico è arricchito da esempi ed esercizi propedeutici all'utilizzo degli strumenti probabilistici in ambito applicativo.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

L’insegnamento si propone di fornire una solida introduzione alla teoria della probabilità, utilizzando alcuni strumenti di base della teoria della misura,  con i seguenti obiettivi: acquisire una comprensione rigorosa dei concetti fondamentali della probabilità, padroneggiare i principali teoremi limite e le diverse nozioni di convergenza, interpretare fenomeni aleatori attraverso modelli probabilistici, collegandoli a esempi concreti. Al termine del corso, lo studente sarà in grado di formalizzare problemi probabilistici in un quadro matematicamente rigoroso, dimostrare proprietà fondamentali di variabili aleatorie, utilizzare i teoremi limite per l’analisi asintotica di fenomeni aleatori.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Al termine dell'insegnamento, la studentessa/lo studente sarà in grado di:

• conoscere le definizioni fondamentali della probabilità e le corrispondenti regole di calcolo;

• comprendere i concetti di vettore aleatorio, di distribuzione e densità congiunta e marginale;

• conoscere i concetti di media e varianza;

• distinguere i diversi concetti di convergenza e il loro utilizzo;

• costruire modelli probabilistici, calcolando le quantità di interesse.

PREREQUISITI

I prerequisiti sono:

• calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili;

• conoscenza delle serie numeriche.

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento prevede lezioni di teoria (quattro ore alla settimana) e di esercizi (tre ore alla settimana) coordinate fra loro. 

PROGRAMMA/CONTENUTO

Contenuti del corso:

1. Spazio di probabilità: eventi, σ-algebre, misura di probabilità, regole di calcolo e proprietà di continuità.

2. Indipendenza e condizionamento: formula delle probabilità totali, teorema di Bayes, lemma di Borel-Cantelli.

3. Variabili aleatorie: funzione di distribuzione e proprietà, speranza matematica, varianza e momenti.

4. Disuguaglianze fondamentali: disuguaglianza di Markov e di Čebyšëv.

5. Distribuzioni notevoli: Bernoulli, binomiale, Poisson, geometrica, binomiale negativa (Pascal), ipergeometrica, normale, uniforme, esponenziale, gamma, χ², t di Student.

6. Vettori aleatori: distribuzioni congiunte e marginali, indipendenza.

7. Funzione caratteristica e sue applicazioni.

8. Teoremi asintotici:

   • Tipi di convergenza (in legge, in probabilità, quasi certa)

   • Limite normale per la binomiale

   • Legge dei grandi numeri

   • Teorema del limite centrale

9. Speranza condizionata e sue proprietà.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• A. Pascucci, Teoria della Probabilità, Springer Verlag
• P. Baldi, Calcolo delle Probabilità, Mc Graw Hill
• R. Durrett , Elementary Probability for Applications, Cambrigde University Press
• R. Durrett , Probability: Theory and Examples, Cambrigde University Press

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 23 settembre 2024 secondo l'orario riportato qui 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Struttura dell'esame

L'esame comprende:

1. Una prova scritta della durata di tre ore. Durante il semestre sono previste due prove parziali scritte, una a metà insegnamento e la seconda alla fine del semestre. Se in entrambe le prove, la studentessa o lo studente è esonerato dalla prova scritta se avrà riportato un voto maggiore o uguale a 18 in entrambe le prove parziale. 

2. Una prova orale

Norme per la prova scritta:

• È vietato l'uso di:

  • Appunti

  • Libri di testo

  • Dispositivi elettronici

• È consentito l'utilizzo esclusivo di:

  • Un formulario personale

  • Contenente formule e risultati utili per lo svolgimento degli esercizi

Valutazione:

• La prova scritta si considera superata con un punteggio ≥ 18/30

• Il punteggio massimo ottenibile è 30 e lode

Svolgimento della prova orale:

• Può essere sostenuta:

  • Nella stessa sessione della prova scritta

  • In una sessione successiva

• Termine ultimo: conclusione dell'anno accademico di riferimento

Note importanti:

1. In caso di gravi carenze emerse durante la prova orale, la Commissione d'esame si riserva il diritto di:

   • Annullare l'esito positivo della prova scritta

2. Per studenti con:

   • Disabilità

   • Disturbi Specifici dell'Apprendimento (DSA)

   • Si fa riferimento alla sezione "Altre Informazioni"

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova scritta consiste nella risoluzione di tre o quattro esercizi strutturati con quesiti a difficoltà crescente, relativi agli argomenti trattati durante le lezioni teoriche. Le tipologie di esercizi proposti sono state oggetto di approfondimento e discussione durante le sessioni esercitative.

Nella prima parte di ciascun esercizio, i quesiti mirano a verificare:

• la conoscenza dei concetti fondamentali della probabilità;

• la padronanza delle tecniche di calcolo di base.

Il corretto svolgimento di questa sezione consente di raggiungere la sufficienza.

La seconda parte dei quesiti valuta:

• la capacità di analisi critica e autonoma;

• l'applicazione di risultati avanzati nella risoluzione di problemi probabilistici.

Il superamento di questa sezione permette di ottenere la valutazione massima.

Prova orale
Il candidato dovrà dimostrare di:

1. esporre con chiarezza i concetti fondamentali del corso;

2. presentare in modo rigoroso gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi principali;

3. risolvere eventuali esercizi supplementari proposti per verificare la padronanza del calcolo delle probabilità.

Valutazione finale
Il giudizio complessivo:

• considera in misura significativa l'esito della prova scritta;

• viene integrato con l'esito della prova orale, che può determinare:

  • un innalzamento

  • o un abbassamento
    del voto conseguito nello scritto.

  •  

ALTRE INFORMAZIONI

Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che, per poter richiedere adattamenti in sede d’esame, è necessario prima caricare la relativa certificazione sul sito web di Ateneo, alla pagina servizionline.unige.it, nella sezione “Studenti”. La documentazione sarà verificata dal Settore Servizi per l’Inclusione degli Studenti con Disabilità e con DSA dell’Ateneo.

Successivamente, con un congruo anticipo (almeno 10 giorni) rispetto alla data dell’esame, è necessario inviare un’e-mail al/alla docente con cui si sosterrà la prova, mettendo in copia conoscenza sia il docente referente di Scuola per l'inclusione degli studenti con disabilità e con DSA (sergio.didomizio@unige.it), sia il Settore sopra indicato. Nell’e-mail occorre specificare:

• la denominazione dell’insegnamento

• la data dell'appello

• il cognome, nome e numero di matricola dello studente

• gli strumenti compensativi e le misure dispensative richiesti e ritenuti funzionali

Il/la referente confermerà al/alla docente che lo/la studente ha diritto a richiedere adattamenti in sede d’esame e che tali adattamenti devono essere concordati con il/la docente. Quest’ultimo/a comunicherà quindi se sia possibile applicare quanto richiesto.

Le richieste devono essere inviate almeno 10 giorni prima della data dell’appello, al fine di consentire al/alla docente un’adeguata valutazione. In particolare, nel caso si intenda fare uso di mappe concettuali per l’esame (che devono essere molto più sintetiche rispetto a quelle utilizzate per lo studio), se l’invio non rispetta i tempi indicati, non sarà possibile garantire il tempo tecnico necessario per eventuali modifiche.

Per ulteriori informazioni sulla richiesta di servizi e adattamenti, si invita a consultare il documento Linee guida per la richiesta di servizi, di strumenti compensativi e/o di misure dispensative e di ausili specifici