L'insegnamento presenta i fondamenti matematici della probabilità utilizzando alcuni elementi della teoria della misura astratta e fornisce gli strumenti per modellare in modo matematicamente rigoroso fenomeni aleatori. L'approccio teorico è arricchito da esempi ed esercizi propedeutici all'utilizzo degli strumenti probabilistici in ambito applicativo.
L’insegnamento si propone di fornire una solida introduzione alla teoria della probabilità, utilizzando alcuni strumenti di base della teoria della misura, con i seguenti obiettivi: acquisire una comprensione rigorosa dei concetti fondamentali della probabilità, padroneggiare i principali teoremi limite e le diverse nozioni di convergenza, interpretare fenomeni aleatori attraverso modelli probabilistici, collegandoli a esempi concreti. Al termine del corso, lo studente sarà in grado di formalizzare problemi probabilistici in un quadro matematicamente rigoroso, dimostrare proprietà fondamentali di variabili aleatorie, utilizzare i teoremi limite per l’analisi asintotica di fenomeni aleatori.
Al termine dell'insegnamento, la studentessa/lo studente sarà in grado di:
conoscere le definizioni fondamentali della probabilità e le corrispondenti regole di calcolo;
comprendere i concetti di vettore aleatorio, di distribuzione e densità congiunta e marginale;
conoscere i concetti di media e varianza;
distinguere i diversi concetti di convergenza e il loro utilizzo;
costruire modelli probabilistici, calcolando le quantità di interesse.
I prerequisiti sono:
calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili;
conoscenza delle serie numeriche.
L'insegnamento prevede lezioni di teoria (quattro ore alla settimana) e di esercizi (tre ore alla settimana) coordinate fra loro.
Contenuti del corso:
Spazio di probabilità: eventi, σ-algebre, misura di probabilità, regole di calcolo e proprietà di continuità.
Indipendenza e condizionamento: formula delle probabilità totali, teorema di Bayes, lemma di Borel-Cantelli.
Variabili aleatorie: funzione di distribuzione e proprietà, speranza matematica, varianza e momenti.
Disuguaglianze fondamentali: disuguaglianza di Markov e di Čebyšëv.
Distribuzioni notevoli: Bernoulli, binomiale, Poisson, geometrica, binomiale negativa (Pascal), ipergeometrica, normale, uniforme, esponenziale, gamma, χ², t di Student.
Vettori aleatori: distribuzioni congiunte e marginali, indipendenza.
Funzione caratteristica e sue applicazioni.
Teoremi asintotici:
Tipi di convergenza (in legge, in probabilità, quasi certa)
Limite normale per la binomiale
Legge dei grandi numeri
Teorema del limite centrale
Speranza condizionata e sue proprietà.
Ricevimento: Su appuntamento preso via mail.
Ricevimento: Contarre il docente scrivendo a ernesto.devito@unige.it
Dal 23 settembre 2024 secondo l'orario riportato qui
L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy
Struttura dell'esame
L'esame comprende:
Una prova scritta della durata di tre ore. Durante il semestre sono previste due prove parziali scritte, una a metà insegnamento e la seconda alla fine del semestre. Se in entrambe le prove, la studentessa o lo studente è esonerato dalla prova scritta se avrà riportato un voto maggiore o uguale a 18 in entrambe le prove parziale.
Una prova orale
Norme per la prova scritta:
È vietato l'uso di:
Appunti
Libri di testo
Dispositivi elettronici
È consentito l'utilizzo esclusivo di:
Un formulario personale
Contenente formule e risultati utili per lo svolgimento degli esercizi
Valutazione:
La prova scritta si considera superata con un punteggio ≥ 18/30
Il punteggio massimo ottenibile è 30 e lode
Svolgimento della prova orale:
Può essere sostenuta:
Nella stessa sessione della prova scritta
In una sessione successiva
Termine ultimo: conclusione dell'anno accademico di riferimento
Note importanti:
In caso di gravi carenze emerse durante la prova orale, la Commissione d'esame si riserva il diritto di:
Annullare l'esito positivo della prova scritta
Per studenti con:
Disabilità
Disturbi Specifici dell'Apprendimento (DSA)
Si fa riferimento alla sezione "Altre Informazioni"
La prova scritta consiste nella risoluzione di tre o quattro esercizi strutturati con quesiti a difficoltà crescente, relativi agli argomenti trattati durante le lezioni teoriche. Le tipologie di esercizi proposti sono state oggetto di approfondimento e discussione durante le sessioni esercitative.
Nella prima parte di ciascun esercizio, i quesiti mirano a verificare:
la conoscenza dei concetti fondamentali della probabilità;
la padronanza delle tecniche di calcolo di base.
Il corretto svolgimento di questa sezione consente di raggiungere la sufficienza.
La seconda parte dei quesiti valuta:
la capacità di analisi critica e autonoma;
l'applicazione di risultati avanzati nella risoluzione di problemi probabilistici.
Il superamento di questa sezione permette di ottenere la valutazione massima.
Prova orale Il candidato dovrà dimostrare di:
esporre con chiarezza i concetti fondamentali del corso;
presentare in modo rigoroso gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi principali;
risolvere eventuali esercizi supplementari proposti per verificare la padronanza del calcolo delle probabilità.
Valutazione finale Il giudizio complessivo:
considera in misura significativa l'esito della prova scritta;
viene integrato con l'esito della prova orale, che può determinare:
un innalzamento
o un abbassamento del voto conseguito nello scritto.
Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che, per poter richiedere adattamenti in sede d’esame, è necessario prima caricare la relativa certificazione sul sito web di Ateneo, alla pagina servizionline.unige.it, nella sezione “Studenti”. La documentazione sarà verificata dal Settore Servizi per l’Inclusione degli Studenti con Disabilità e con DSA dell’Ateneo.
Successivamente, con un congruo anticipo (almeno 10 giorni) rispetto alla data dell’esame, è necessario inviare un’e-mail al/alla docente con cui si sosterrà la prova, mettendo in copia conoscenza sia il docente referente di Scuola per l'inclusione degli studenti con disabilità e con DSA (sergio.didomizio@unige.it), sia il Settore sopra indicato. Nell’e-mail occorre specificare:
la denominazione dell’insegnamento
la data dell'appello
il cognome, nome e numero di matricola dello studente
gli strumenti compensativi e le misure dispensative richiesti e ritenuti funzionali
Il/la referente confermerà al/alla docente che lo/la studente ha diritto a richiedere adattamenti in sede d’esame e che tali adattamenti devono essere concordati con il/la docente. Quest’ultimo/a comunicherà quindi se sia possibile applicare quanto richiesto.
Le richieste devono essere inviate almeno 10 giorni prima della data dell’appello, al fine di consentire al/alla docente un’adeguata valutazione. In particolare, nel caso si intenda fare uso di mappe concettuali per l’esame (che devono essere molto più sintetiche rispetto a quelle utilizzate per lo studio), se l’invio non rispetta i tempi indicati, non sarà possibile garantire il tempo tecnico necessario per eventuali modifiche.
Per ulteriori informazioni sulla richiesta di servizi e adattamenti, si invita a consultare il documento Linee guida per la richiesta di servizi, di strumenti compensativi e/o di misure dispensative e di ausili specifici
