OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo dell'insegnamento è introdurre i concetti algebrici fondamentali, e le relative tecniche, utilizzati nello studio dell'aritmetica dei campi di numeri e, più in generale, degli anelli di Dedekind. Il corso fornisce prerequisiti algebrici necessari per affrontare questioni più avanzate in Teoria dei Numeri, Geometria Aritmetica ed argomenti collegati.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo studente arriverà a possedere una buona conoscenza delle nozioni fondamentali di Teoria Algebrica dei Numeri, quali fattorizzazione unica di ideali in domini di Dedekind, ramificazione di ideali primi in estensioni (eventualmente di Galois) di campi di numeri, gruppo delle classi di ideali in un dominio di Dedekind, numeri p-adici. 

PREREQUISITI

I corsi (in particolare quelli di algebra) dei primi due anni della laurea triennale in Matematica.

MODALITA' DIDATTICHE

Modalità tradizionale.

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Richiami e preliminari di algebra (anelli noetheriani, teorema cinese dei resti, anelli locali, lemma di Nakayama).
• Dipendenza intera; domini integralmente chiusi.
• Generalità sulle estensioni di campi.
• Teorema dell'elemento primitivo e sue conseguenze.
• Norma e traccia di un elemento.
• Ideali frazionari di domini di integrità.
• Domini di Dedekind. 
• Fattorizzazione unica di ideali in domini di Dedekind.
• Il gruppo delle classi di un dominio di Dedekind.
• Gruppo delle classi e class number di un campo di numeri.
• Teoremi di Hermite-Minkowski, di Hermite e delle unità di Dirichlet.
• Ramificazione di ideali primi.
• Ramificazione e discriminante.
• Ramificazione in campi quadratici.
• Teorema fondamentale della teoria di Galois in caratteristica 0.
• Teoria di Hilbert della ramificazione, gruppo di decomposizione e gruppo di inerzia.
• Automorfismo di Frobenius.
• Campi ciclotomici: anello degli interi e discriminante.
• Legge di reciprocità quadratica.
• I numeri p-adici: definizioni e prime proprietà.
• Lemma di Hensel e alcune sue applicazioni.
• Principio locale-globale: enunciato e alcuni esempi.
• Teorema di Hasse-Minkowski: enunciato. 

TESTI/BIBLIOGRAFIA

• S. Lang, Algebraic number theory, second edition, Springer, 1994. 
• D. A. Marcus, Number fields, second edition, Springer, 2018.
• J. Neukirch, Algebraic number theory, Springer, 1999.
• P. Samuel, Algebraic theory of numbers, Dover, 2008.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Prova orale sui contenuti del corso.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame orale verterà principalmente sugli argomenti trattati durante le lezioni frontali e avrà lo scopo di valutare se lo studente non soltanto ha raggiunto un livello adeguato di conoscenze, ma è anche in grado di affrontare la risoluzione di uno o più esercizi simili a quelli proposti nei fogli messi a disposizione su Aulaweb.