PRESENTAZIONE

L'insegnamento presenta la teoria delle C*-algebre e delle algebre di von Neumann, che sono alla base dello studio della Meccanica e della Probabilità Quantistica.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo dell’insegnamento è acquisire gli elementi di base della teoria delle C*-algebre e delle algebre di von Neumann come linguaggio unificato per la teoria spettrale e la probabilità non commutativa.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L'obiettivo è quello di far apprendere allo studente la teoria delle C*-algebre e algebre di von Neumann, che sono gli spazi naturali su cui definire le evoluzioni quantistiche. 

In particolare, al termine dell'insegnamento, lo studente dovrà:

-aver appreso il linguaggio matematico della probabilità quantistica,

-saper lavorare con funzionali e operatori normali e positivi, e studiarne le proprietà spettrali,

-acquisire padronanza degli argomenti trattati per poter poi continuare lo studio in modo autonomo su tematiche collegate e più avanzate.

PREREQUISITI

Teoria degli operatori limitati e compatti, topologia debole e debole*, algebre di Banach.

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento si svolge in maniera tradizionale, con lezioni frontali tenute dal docente alla lavagna.

PROGRAMMA/CONTENUTO

- C*-algebre: elementi positivi, funzionali positivi, rappresentazione GNS.

-Operatori limitati su spazi di Hilbert: forme sesquilineari, proiezioni, isometrie parziali e teorema di decomposizione polare.

- Operatori classe di traccia e di Hilbert-Schmidt. Teorema spettrale.

- Topologia debole, forte e sigma-debole sull’algebra degli operatori limitati su uno spazio di Hilbert.

- Algebre di von Neumann: stati normali e preduale, prodotto tensore di algebre di von Neumann, fattori di tipo I e teorema di rappresentazione.

-Mappe cmpletamente positive. 

-Introduzione ai Semigruppi Quantistici Markoviani.

L'insegnamento contribuisce al raggiungimento degli Obiettivi 4 (fornire un'educazione di qualit`a, equa ed inclusiva, e opportunit`a di apprendimento per tutti) e 5 (raggiungere l’eguaglianza di genere ed emancipare tutte le donne e ragazze) di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda ONU 2030.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

            - Bratteli, Robinson: Operator algebras and quantum statistical mechanics 1

            - Conway: A course in functional analysis

            - Murphy: C*-algebras and operator theory

            - Sakai: C*-algebras and W*-algebras

            - Takesaki: Theory of operator algebras I

            - J. Dixmier: Von Neumann algebras

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Prova orale.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La verifica dell'apprendimento avviene attraverso il solo esame orale e verterà su argomenti trattati a lezione. Lo studente dovrà mostrare correttezza del linguaggio e del formalismo matematico, conoscere bene gli oggetti matematici e i risultati del corso e saperli usare con naturalezza.