PRESENTAZIONE

Il corso ho come scopo di sviluppare i concetti introdotti nel corso di Introduzione alla Geometria Algebrica e di generalizzarli alla Teoria degli Schemi: si vedrà quindi la nozione di schema affine, la nozione di schema e come questi generalizzino la nozione di varietà algebrica; in modo analogo si parlerà di morfismi tra schemi e se ne vedranno alcune delle proprietà principali. Si vedrà poi come generalizzare agli schemi la nozione di fascio di moduli, e si introdurranno alcuni degli oggetti più importanti della geometria algebrica moderna: i fasci coerenti e i fasci quasi-coerenti. Utilizzando tali nozioni si introdurranno i fasci invertibili, il gruppo di Picard di uno schema e come questi concetti permettano di immergere uno schema proiettivo in uno spazio proiettivo.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Obiettivo dell'insegnamento è introdurre alcuni contenuti avanzati considerati fondamentali per gli studenti che intendono approfondire lo
studio e intraprendere attività di ricerca nell’ambito della Geometria Algebrica moderna.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Nel corso si introdurrà la nozione di schema come generalizzazione della nozione di varietà algebrica vista nel corso di Introduzione alla Geometria Algebrica. In particolare, si introdurrà la nozione di schema affine come insieme degli ideali primi di un anello commutativo unitario, sul quale si definiranno una topologia e un fascio strutturale imitando quanto fatto per le varietà algebriche affini. Uno schema verrà definito come incollamento di schemi affini. Si vedrà come la categoria degli schemi generalizzi la categoria delle varietà algebriche.

Mediante l'uso del linguaggio degli schemi si vedrà come studiare particolari tipi di fasci su uno schema, i fasci coerenti e i fasci quasi-coerenti, dei quali si definiranno le rispettive categorie e di cui si studieranno le proprietà. In particolare, si parlerà di fasci localmente liberi, e si definiranno alcune nozioni fondamentali come la coomologia dei fasci, di cui si vedrà più particolarmente la coomologia di Cech, e si introdurrà la nozione di fascio invertibile e di divisore (e il legame tra queste due nozioni).

Lo scopo principale del corso è quindi di introdurre uno dei linguaggi più importanti della geometria algebrica moderna, preparando gli studenti ad affrontare un percorso di ricerca in geometria algebrica.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di descrivere le proprietà di base di uno schema o di una varietà algebrica, come ad studiarne i divisori e determinarne le principali proprietà (punti base, ampiezza). Lo studente sarà inoltre in grado di algebrizzare problemi geometrici per risolverli in modo rigoroso.

PREREQUISITI

Il prerequisito fondamentale per il corso di Teoria degli Schemi è il corso di Introduzione alla Geometria Algebrica

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Schemi affini

2. La categoria degli schemi

3. Fasci coerenti e quasi-coerenti

4. Coomologia di fasci

5. Fasci invertibili e divisori

TESTI/BIBLIOGRAFIA

R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer

D. Eisenbud, J. Harris, The Geometry of Schemes, Springer

D. Mumford, The Red Book of Varieties and Schemes, Springer

I. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds, Springer

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova orale, e lo si considera superato se il voto ottenuto è maggiore o uguale a 18/30.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Durante la prova orale si richiedera agli studenti di conoscere e saper presentare le varie definizioni introdotte nel corso, gli enunciati dei teoremi e le loro dimostrazioni. Si richiede inoltre di saper determinare se una data affermazione è vera o falsa, giustificando le proprie affermazioni mediante l'uso di dimostrazioni, esempi e controesempi.