PRESENTAZIONE

L’insegnamento di Topologia Algebrica è un'Introduzione alle tecniche algebriche in topologia e in geometria differenziale. In particolare saranno studiati i CW-complessi, l'omologia e la coomologia singolare, i gruppi di omotopia superiore e la teoria di Morse.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Obiettivo dell'insegnamento è fornire allo studente un'introduzione elementare ai concetti e ai metodi della Topologia Algebrica.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo di questo insegnamento è consolidare le tecniche di topologia algebrica già apprese nell'insegnamento di Geometria 2. In particolare, l'obiettivo del corso è studiare:

• la teoria dei rivestimenti e i rivestimenti universali; 
• la teoria dei CW-Complessi;
• la teoria dell’omologia e della coomologia singolare;
• la coomologia di Čech e la coomologia di de Rham;
• gli aspetti di base della teoria di Morse e dei gruppi di omotopia superiore.

Verranno trattate le motivazioni e il background storico sulla nascita di questi oggetti matematici.

Inoltre, l'insegnamento si propone di allenare:

• la capacità di usare precisamente il linguaggio tecnico della topologia algebrica;
• la capacità di formalizzare problemi geometrici in termini algebrici;
• la capacità di dimostrare semplici teoremi di topologia algebrica.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di:

• determinare i rivestimenti di uno spazio topologico;
• determinare il quoziente di uno spazio topologico sotto l'azione di un gruppo;
• stabilire se uno spazio topologico è un CW-Complesso e determinare una sua suddivisione cellulare;
• calcolare i gruppi di omologia e coomologia di alcune varietà topologiche;
• calcolare l'anello di coomologia di alcune varietà topologiche.

PREREQUISITI

L'insegnamento  è una naturale prosecuzione dell'insegnamento di Geometria 2. E' consigliabile aver seguito almeno un corso di: algebra lineare e geometria analitica, algebra generale, geometria differenziale.

MODALITA' DIDATTICHE

L'obiettivo principale delle lezioni è presentare i contenuti teorici della disciplina affiancandoli con del corso esercizi mirati alla migliore comprensione della stessa. La frequenza alle lezioni e alle esercitazioni è fortemente consigliata
Si invitano gli studenti lavoratori e gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Richiami su varietà topologiche e varietà differenziabili.
2. Azioni di gruppi propriamente discontinue.
3. Teoria dei rivestimenti e rivestimento universale.
4. CW - complessi e loro proprietà.
5. Omologia e Coomologia singolare (in particolare vengono presentati il teorema di Mayer-Vietoris, il teorema dei coefficienti universali e gli assiomi di Eilenberg-Steenrod)
6. Coomologia di Čech e coomologia di de Rham
7. Cenni alla teoria di Morse
8. Cennti ai gruppi di omotopia superiore.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

1. C. Godbillon, Topologie algébrique, Hermann, Paris 1971

2. W. S. Messey, A Basic Course in Algebraic Topology , Springer-Verlag, New York 1991.

3. A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002 (available online).

4. C. A. Weibel, An Introduction to Homological algebra, Cambridge University Press, Cambridge 1994. 

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

https://corsi.unige.it/corsi/11897

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame si svolge in modalità orale.

Si consiglia agli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali, nonché gli studenti lavoratori, di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Durante l'esame orale lo studente dovrà essere in grado di: dimostrare i teoremi presentati a lezione, riportare corettamente tutte le definizioni e risolvere semplici esercizi di calcolo di rivestimenti, di omologia e coomologia. 

ALTRE INFORMAZIONI

Rivolgersi al docente per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento