ALGEBRA COMMUTATIVA 1

Informazioni in aggiornamento fino al 30/06/2026

CODICE	39407
ANNO ACCADEMICO	2026/2027
CFU	6 cfu anno 2 MATEMATICA 11907 (LM-40 R) - GENOVA 6 cfu anno 1 MATEMATICA 11907 (LM-40 R) - GENOVA 6 cfu anno 1 MATEMATICA 11907 (LM-40 R) - GENOVA
SETTORE SCIENTIFICO DISCIPLINARE	MAT/02
LINGUA	Italiano
SEDE	GENOVA
PERIODO	1° Semestre
MATERIALE DIDATTICO	AULAWEB

PRESENTAZIONE

In questo insegnamento si introducono le nozioni di base dell'algebra commutativa, disciplina nata dal lavoro di Hilbert e Dedekind di fine '800, e sviluppatasi nel corso del '900. Essa si interessa dello studio di anelli, detti Noetheriani, in cui ogni ideale è finitamente generato. Lo sviluppo dell'algebra commutativa è motivato da alcune domande naturali e, a priori, molto semplici. Tra queste: quale forma di fattorizzazione unica abbiamo negli anelli Noetheriani? Qual è il concetto "giusto" di dimensione di un anello?

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo dell'insegnamento consiste nell'introdurre alcune nozioni di base dell'algebra commutativa tra le quali localizzazione, prodotto tensore, concetti di modulo Noetheriano e Artiniano, dimensione di Krull e dipendenza integrale.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Gli obiettivi formativi sono:

Presentare allo studente alcune tecniche caratteristiche dell'algebra commutativa quali la localizzazione, il prodotto tensore, e l'estensione/contrazione di ideali.
Introdurre moduli Noetheriani ed Artiniani, e sviluppare la teoria dei primi associati di un modulo in relazione alla decomposizione primaria (il "sostituto" della fattorizzazione unica) di un ideale in un anello Noetheriano.
Caratterizzare gli anelli Artiniani introducendo la lunghezza di un modulo e la dimensione di un anello e, utilizzando tale caratterizzazione, dimostrare il Teorema dell'altezza di Krull (Hauptidealsatz di Krull).
Introdurre il concetto di dipendenza integrale al fine di calcolare la dimensione di Krull di algebre finitamente generate su un campo.

I risultati di apprendimento attesi sono:

Un forte consolidamento delle nozioni algebriche di base grazie alla teoria sviluppata a lezione, e alla discussione di esercizi assegnati, e dimestichezza nell'uso di tecniche standard dell'algebra commutativa.
Al termine di Algebra Commutativa 1 la studentessa e lo studente hanno appreso gli attributi salienti degli anelli Noetheriani, conoscono le caratteristiche della decomposizione primaria di un ideale, e sanno calcolarla in alcuni casi notevoli (ad esempio nel caso di ideali monomiali).
Al termine di Algebra Commutativa 1 la studentessa e lo studente hanno appreso la nozione di dimensione di Krull, e hanno appreso come poterla calcolare nel caso di anelli locali, e nel caso di algebre finitamente generate su un campo.

PREREQUISITI

I prerequisiti riguardano i concetti di base dell'algebra: le strutture algebriche di gruppo, anello, modulo, algebra; gli omomorfismi tra di esse, i quozienti.

MODALITA' DIDATTICHE

La maggioranza delle ore del corso sarà dedicata a lezioni frontali di teoria. Durante il semestre verranno proposti fogli di esercizi che verranno discussi collettivamente; alcune ore settimanali verranno appositamente riservate per queste discussioni.

La frequenza, anche se non obbligatoria, è caldamente consigliata, in quanto sia le lezioni che le sessioni di esercizi sono essenziali per la comprensione dei contenuti del corso, anche al fine di comprendere lo sviluppo della disciplina presentata e le ragioni matematiche e storiche di tale sviluppo.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Il programma dell'insegnamento prevede:

Richiami su anelli, ideali e moduli. Algebre. Localizzazione.
Condizioni sulle catene, anelli Noetheriani ed Artiniani.
Decomposizione primaria di ideali, primi associati ad un modulo.
Prodotto tensore di moduli, cenni su algebra tensoriale, simmetrica ed esterna.
Anelli di invarianti, operatore di Reynolds, sottoanelli puri, addendi diretti, algebre retratte.
Teoria della dimensione, Krullhauptidealssatz e varianti. Sistemi di parametri e dimensione di anelli locali.
Dipendenza integrale, normalizzazione di Noether e dimensione di K-algebre finitamente generate.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Appunti del corso, Autori: E. De Negri e A. De Stefani (disponibili su AulaWeb).
Introduzuione a l'algebra commutativa, Autori: M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Feltrinelli.
Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Autore: D. Eisenbud, Graduate Texts in Mathematics, Springer ISBN-13: 978-0387942698.

DOCENTI E COMMISSIONI

ALESSANDRO DE STEFANI

Ricevimento: Su appuntamento. Gli studenti possono contattare il docente via e-mail.

ALDO CONCA

Ricevimento: Su appuntamento da concordare con il docente per email o a voce alla fine delle lezioni.

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Le date di inizio lezioni sono riportate sulle pagine web del Corso di Studi. L'orario si può consultare qui.

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova orale.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame orale consiste nella discussione degli aspetti teorici della disciplina visti a lezione e nella risoluzione di alcuni esercizi, sulla falsa riga di quelli discussi durante le ore di lezione. Viene valutato sia il livello di conoscenza degli argomenti trattati che la capacità di presentarli in modo formale, coinciso e corretto. Il voto finale si basa sull'andamento dell'esame orale, e tiene conto della partecipazione durante il semestre (durante le lezioni, e alle sessioni di esercizi).

ALTRE INFORMAZIONI

Strumenti compensativi e misure dispensative Disabilità/Invalidità/Disturbo Specifico dell'Apprendimento

Le misure dispensative e gli strumenti compensativi servono a mettere gli studenti in condizione di raggiungere gli stessi obiettivi di apprendimento dei compagni di studio, non a facilitare l'esame.

L’utilizzo di strumenti compensativi e l’applicazione di misure dispensative devono essere preventivamente autorizzati dal Docente titolare dell'insegnamento in accordo con il Referente.

Per usufruire degli adattamenti in sede di esame compila il Modulo per la richiesta di adattamenti; la richiesta verrà inviata automaticamente dal sistema al docente titolare dell’insegnamento, al Referente della tua Scuola/Area/Dipartimento e in copia conoscenza al Settore; inoltre anche tu riceverai copia della richiesta inviata tramite e-mail.

Gli adattamenti di cui gli studenti possono usufruire sono i seguenti: