PRESENTAZIONE

Equazioni Differenziali 2 è dedicato allo studio degli spazi di Sobolev e al loro utilizzo nella risoluzione di equazioni alle derivate parziali (PDE) ellittiche in senso debole. L’idea centrale del corso è mostrare come molti problemi differenziali possano essere riformulati in modo astratto come equazioni tra spazi di funzioni, del tipo A : X → Y , dove l’operatore A codifica la PDE e le condizioni al bordo, mentre gli spazi X e Y devono essere scelti in modo opportuno. Gli spazi di Sobolev forniscono precisamente il linguaggio naturale per questa riformulazione e permettono di applicare in modo efficace gli strumenti dell’analisi funzionale allo studio dell’esistenza, unicità e regolarità delle soluzioni. Il corso prenderà come modello il problema del Laplaciano e svilupperà poi la teoria per classi più generali di equazioni ellittiche del secondo ordine con condizioni al bordo.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Lo scopo dell'insegnamento è di fornire un'introduzione sugli spazi di Sobolev, e fornire interpretazione variazionale di alcune equazioni differenziali alle derivate parziali, studiandone anche la regolarità delle soluzioni. Come applicazione si forniranno semplici risultati di esistenza di soluzioni regolari.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Fornire contenuti fondamentali inerenti alla teoria delle funzioni debolmente derivabili (distribuzioni, spazi di Sobolev). Interpretare le soluzioni deboli di equazioni alle derivate parziali come minimi di problemi variazionali e, viceversa, tramite le equazioni di Eulero-Lagrange; usare questo principio per dedurre risultati di esistenza, unicità e regolarità per tali equazioni. Il duplice obiettivo del corso è fornire strumenti e risultati fondamentali dell’analisi matematica nell’ambito delle equazioni alle derivate parziali e principi generali propri del calcolo delle variazioni.

Risultati di apprendimento attesi: Comprensione dei concetti e delle dimostrazioni svolte a lezione. Capacità di elaborare dimostrazioni che costituiscano varianti di quelle presentate durante il corso, di costruire esempi e controesempi, e di risolvere esercizi relativi agli argomenti dell’insegnamento.

PREREQUISITI

E' consigliata una conoscenza di base della teoria della misura, degli spazi Lˆp e degli spazi di Banach. Non è necessario aver seguito l’insegnamento di Equazioni Differenziali 1.

MODALITA' DIDATTICHE

Didattica tradizionale (lezioni teoriche alla lavagna).

Strumenti compensativi e misure dispensative Disabilità/Invalidità/Disturbo Specifico dell'Apprendimento

Le misure dispensative e gli strumenti compensativi servono a mettere gli studenti in condizione di raggiungere gli stessi obiettivi di apprendimento dei compagni di studio, non a facilitare l'esame.

L’utilizzo di strumenti compensativi e l’applicazione di misure dispensative devono essere preventivamente autorizzati dal Docente titolare dell'insegnamento in accordo con il Referente.

Per usufruire degli adattamenti in sede di esame compila il Modulo per la richiesta di adattamenti; la richiesta verrà inviata automaticamente dal sistema al docente titolare dell’insegnamento, al Referente della tua Scuola/Area/Dipartimento e in copia conoscenza al Settore; inoltre anche tu riceverai copia della richiesta inviata tramite e-mail.

Gli adattamenti di cui gli studenti possono usufruire sono i seguenti:

• Tempo aggiuntivo (+30% DSA)
• Tempo aggiuntivo (+50% disabilità/invalidità)
• Tempo aggiuntivo durante le prove orali per organizzare la risposta
• Calcolatrice (non sono ammesse calcolatrici programmabili e grafiche)
• Mappe concettuali
• Tabelle e/o Formulari
• Sostenere l'esame in forma scritta
• Sostenere l'esame in forma orale
• Tutor lettore (solo per prove scritte)
• Tutor scrittore (solo per prove scritte)

La tua richiesta di adattamenti deve essere inoltrata tassativamente almeno 7 giorni lavorativi prima della data prevista per l’esame.

Ulteriori informazioni al link: Servizi per studentesse e studenti con disabilità o con DSA | UniGe | Università di Genova

Referente per l'inclusione: Sergio Di Domizio - sergio.didomizio@unige.it

PROGRAMMA/CONTENUTO

• Richiami e complementi: spazi normati, spazi duali, topologia debole, spazi riflessivi, teorema di rappresentazione di Riesz, teorema di Lax-Milgram, metodo diretto del calcolo delle variazioni.
• Distribuzioni: spazi di funzioni test, distribuzioni, derivate distribuzionali, ordine di una distribuzione, convoluzione, distribuzioni a supporto compatto, soluzioni fondamentali.
• Spazi di Sobolev: definizioni e prime proprietà, approssimazione tramite funzioni regolari, teoremi di estensione, disuguaglianza di Poincaré, inclusioni continue e compatte, spazi duali di dimensione negativa, spazi di traccia e teoremi di traccia.
• Il problema del Laplaciano: formulazione debole, stime a priori, esistenza di soluzioni deboli, condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann, regolarità delle soluzioni.
• Operatori ellittici del secondo ordine: definizioni, risultati di esistenza, regolarità, principi del massimo nel caso regolare e nel caso generale.
• Esempi di problemi ellittici: problema di Neumann, (p)-Laplaciano, equazione biarmonica, sistema dell’elasticità.
• Problemi agli autovalori: alternativa di Fredholm, problemi spettrali per operatori ellittici, operatori aggiunti e autovalori in spazi di Hilbert, autovalori del Laplaciano.
• Operatori ellittici in forma di divergenza: formulazione del problema, principio del massimo debole, unicità ed esistenza delle soluzioni.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Evans, "Partial Differential Equations"

Gilbarg & Trudinger, "Elliptic Partial Differential Equations of Second Order".

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Le lezioni seguiranno il calendario disponibile alla pagina 

https://corsi.unige.it/corsi/11907/studenti-orario

Orari delle lezioni

EQUAZIONI DIFFERENZIALI 2

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Esame orale

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

L'esame orale accerterà 

• la capacità di identificare i metodi adatti a risolvere i problemi proposti;
• la capacità di applicare i metodi individuati;
• le capacità dimostrative e argomentative.

ALTRE INFORMAZIONI

Rivolgersi al docente per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento.