PRESENTAZIONE

Questo è il primo di una serie di insegnamenti nei quali gli studenti sono chiamati ad apprendere i fondamenti dell'analisi, uno dei settori più consolidati della matematica, costituito da un imponente corpo di concetti e meteodi dei quali si fa uso in molte altre discipline come la Fisica. Esso è incentrato sul calcolo differenziale e integrale delle funzioni reali di una variabile reale. I concetti fondamentali sono quelli di limite, successione, continuità, derivata, integrale definito.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Introduzione al trattamento rigoroso dell'analisi matematica, sviluppando contemporaneamente i metodi del calcolo differenziale e integrale nel contesto delle funzioni reali di una variabile reale.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale

PROGRAMMA/CONTENUTO

 1. Numeri reali. Gli assiomi di corpo ordinato. Il valore assoluto. I numeri naturali e gli interi. I numeri razionali e la loro rappresentazione geometrica. L'assioma di completezza e le sue conseguenze. La retta reale. Archimedeità dei reali. Allineamenti decimali.

2. Funzioni. Relazioni, funzioni, dominio, codominio, immagine e grafico di funzioni. Composizione di funzioni. Funzioni invertibili. Operazioni su funzioni reali. Funzioni monotone. Polinomi e funzioni razionali. Altre funzioni elementari. Le funzioni trigonometriche. La funzione esponenziale nel corpo razionale. 

3. Limiti. Proprietà metriche e topologiche di R. Definizione di continuità. Operazioni con funzioni continue. Limiti e loro proprietà. Operazioni sui limiti. Teoremi del confronto. Limite di funzioni monotone. Limiti di funzione composte e cambiamenti di variabili. Successioni e loro limiti. Sottosuccessioni. Teorema di Bolzano-Weierstrass. Successioni di Cauchy. Uso delle successioni nello studio dei limiti. Limiti di successioni definite per ricorrenza. Il numero e di Nepero.

4. Proprietà globali delle funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Continuità e monotonia. Continuità dell'inversa. Continuità uniforme. Il teorema di Heine Cantor. La funzione esponenziale nel corpo reale.

5. Calcolo differenziale, I. La derivata: definizione e prime proprietà. Differenziabilità. Proprietà algebriche del differenziale. Derivazione di funzioni composte e della funzione inversa. Derivate delle funzioni elementari. Derivate di ordine superiore. I teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy e le loro conseguenze. Teorema de l'Hopital. Confronto locale tra funzioni. Infiniti e infinitesimi. Formula di Taylor. Studio delle proprietà di monotonia e di convessità di una funzione attraverso i segni delle derivate. Funzioni convesse. Metodo di Newton. Metodi iterativi per la risoluzione delle equazioni.

6. L'integrale indefinito. Regole di integrazione. Integrazione di alcune funzioni elementari. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. 

7. L'integrale definito secondo Riemann. Proprietà dell'integrale. Integrabilità di funzioni continue e di funzioni monotone. Integrali orientati. Teorema delle media integrale. Relazioni tra calcolo differenziale e calcolo integrale: funzioni integrali, il teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali impropri. Criteri di convergenza. 

8. Serie geometriche, telescopiche. Convergenza.Serie numeriche a termini non negativi: criterio del confronto, della radice e del rapporto; criterio di condensazione, dell’ordine e criterio integrale. Serie a segni alterni. Teorema di Leibniz.

9. Equazioni differenziali. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni lineari del primo ordine. Equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

A.Bacciotti, F.Ricci - Analisi Matematica I - Liguori Editore

M. Baronti, F. De Mari, R. van der Putten, I. Venturi - Calculus Problems, Springer, 2016

Altri testi suggeriti verrano segnalati sulla pagina AULAWEB dell'insegnamento

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio di Corsi di Studi.

Orari delle lezioni

ANALISI MATEMATICA 1

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Prove scritte. 

1. Nel corso dell’anno saranno erogate due prove scritte intermedie (i cosiddetti “compitini”). Se uno studente ottiene una votazione media maggiore o uguale a 18/30 e se in entrambi riporta almeno 15/30, la media dei due voti vale come prova scritta e ne sostituisce lo svolgimento.

2. Una prova scritta con una votazione maggiore o uguale a 16/30 consente l’accesso alla prova orale.

3. Se uno studente consegna una prova scritta, si ritengono annullate le prove scritte consegnate in precedenza.

Prove orali. Durante la prova orale, la commissione interroga sull’intero programma. In particolare, verrà valutata la conoscenza delle definizioni dei concetti principali, e degli enunciati e dimostrazioni dei risultati più importanti, e verrà verificata la capacità di svolgere esercizi.

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Modalità di frequenza: facoltativa