OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso è volto a fornire l'acquisizione e la capacità di elaborazione applicativa dei concetti fondamentali su: limiti e calcolo differenziale e integrale di funzioni scalari e vettoriali di più variabili, serie numeriche e di funzioni ed equazioni differenziali ordinarie.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L'obiettivo  dell'insegnamento di Analisi Matematica 2 è quello di fornire allo studente una conoscenza dei principali teoremi relativi al calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali, mettendo in luce le analogie e le differenze con i contenuti di Analisi Matematica 1, visti l'anno precedente.

Lo studente dovrà inoltre essere in grado di svolgere esercizi, dimostrando una buona padronanza delle tecniche di calcolo viste durante l'anno e capacità di collegare argomenti. Nella parte di teoria verranno in particolare enfatizzati gli aspetti applicativi, sia alla fisica sia alla probabilità.

PREREQUISITI

Tuttli gli argomenti trattati nel corso di Analisi Matematica 1 sono fondamentali per la comprensione dei problemi. Inoltre alcuni concetti e tecniche del corso di ALGA sono ampiamente utilizzati (spazi vettoriali, autovalori e autovettori) o possono fornire spunti interessanti (coniche e quadriche)

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento sia per la parte di teoria sia per quella di esercizi si svolge in modalità tradizionale con lezioni frontali tenute da docenti alla lavagna. Il primo semestre dura 12 settimana con quattro ore di teoria e due di esercizi per settimana. Il secondo semestre dura 12 settimana con tre ore di teoria e due di esercizi per settimana.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Calcolo differenziale

1. Piano euclideo, vettori, norma, prodotto scalare, metrica
2. Elementi di topologia: punto interno, di aderenza, di accumulazione, di frontiera, isolato, parte interna, chiusura e frontiera. Insiemi aperti, chiusi, limitati e compatti e loro proprietà.Teorema di Heine-Borel.
3.  Funzioni: funzioni scalari, grafico, insiemi di livello, curve, campi vettoriali, trasformazioni attive, cambi di variabile, superfici. Funzioni lineari ed affini. Continuità: continuità componenti (Lemma 2.19), continuità funzioni composte. Algebra funzioni continue (Teo. 2.22). Funzioni infinitesime e loro proprietà
4. Definizione di limite e relazione con la continuità, teoremi sui limiti. Condizioni necessarie  e sufficienti per l’esistenza del limite
5. Proprietà funzioni continue:  caratterizzazione insiemi aperti e chiusi come contro-immagine di funzioni continue. Immagine continua di connessi e compatti. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi
6. Definizione di funzione differenziabile: matrice jacobiana, gradiente, derivate parziali. Curve differenziabili: vettore tangente. Piano tangente con interpretazione gradiente. Condizione differenziabilità componenti. Condizione necessaria differenziabilità, derivate parziali e direzionali. Condizione sufficiente differenziabilità. Regola di derivazione in catena. Derivate seconde, matrice hessiana e forma quadratica. Teorema di Schwarz. Formula dell’accrescimento finito scalare. Formula di Taylor di ordine II. Significato geometrico gradiente. Caratterizzazioni funzioni a gradiente nullo. Massimi e minimi relativi, punti critici. Condizione necessaria del primo ordine per estremi relativi. Condizione sufficiente del secondo ordine per estremi relativi. Trasformazioni regolari di coordinate. Teorema della funzione inversa. Funzioni definite implicitamente. Teorema della funzione implicita scalare. Teorema della funzione implicita vettoriale. Estremi relativi vincolati. 

Calcolo integrale

1. Integrale di Lebesgue: funzioni semplici e loro integrale, insiemi trascurabili. Funzioni misurabili e funzioni integrabili. Proprietà funzioni integrabili. Teorema convergenza monotona (Teo 3.10) e dominata (Teo 3.11). Integrazione termine a termine. Criterio del confronto. Insiemi misurabili e misura di un insieme. Additività integrale e additività misura. Principio di annullamento (Prop. 3.19). 
2.  Teorema di Fubini. Integrazione su domini normali. Formula di integrazione per cambio di variabili.
3. Integrali tripli. Formula di integrazione per fili e per strati. Volume di un solido di rotazione, teorema di Guldino
4. Integrali dipendenti da parametro.

Successioni e serie di funzioni

1. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme. Continuità funzione limite. Scambio limite ed integrale. Scambio limite e derivata
2. Serie di funzioni: convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Criterio di Weierstrass. Proprietà serie di funzioni
3. Serie di potenze. Proprietà del raggio di convergenza. Criteri del rapporto e della radice. Teorema di Abel. Derivazione serie di potenze. Derivazione ed integrazione serie di potenze. Principio di identità
4. Serie di Taylor. Condizione sufficiente per la sviluppabilità. Sviluppi notevoli.
5. Serie di Fourier. Caratterizzazione coefficienti. Convergenza puntuale serie di Fourier per funzioni lisce a tratti. Serie di Fourier derivata  ed integrata. Convergenza uniforme ed assoluta. Disuguaglianza isoperimetrica

Elementi di Geometria differenziale

1. Curve regolari, velocità e versore tangente. Curve in coordinate polari, espressione della velocità. Versore normale, curvatura, piano osculatore. Interpretazione nel caso bidimensionale. Curve equivalenti ed orientamento. Lunghezza di una curva. Ascissa curvilinea e sue proprietà. Integrale di linea e sue proprietà.
2. Superficie regolari parametrizzazioni regolari. Vettore normale e sua interpretazione geometrica, equazione piano tangente. Superfici, grafico di una funzione. Cambi di parametrizzazione, orientamento superfici. Area di una superficie. Integrali di superfici e flusso di un campo con loro proprietà
3. Campi vettoriali. Bordo di un dominio regolare nel piano. bidimensionali. Teorema di Green. Proprietà del valore intermedio per funzioni armoniche. Domini e superfici con bordo regolare nello spazio.Rotore e diverge. Teorema di Gauss e Teorema di Stokes (Teo 4.31). Campi irrotazionali e conservativi. Condizioni equivalenti campo conservativo. Condizione sufficiente campo conservativo. Potenziale vettore e campi solenoidali. Condizioni necessarie esistenza potenziale vettore. Condizioni sufficiente esistenza potenziale vettore.

Equazioni differenziali

1. Equazioni differenziali ordinarie, forma normale, problema di Cauchy.
2. Sistemi di equazioni differenziali. Riduzione dell'ordine.
3. Teorema di esistenza ed unicità locale del problema di Cauchy. Teorema di esistenza ed unicità globale del problema di Cauchy.
4. Sistemi di equazioni differenziali lineari: struttura dell'insieme delle soluzioni. Soluzione sistemi lineari a coefficienti costanti. Formula delle variazioni delle costanti.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Sono disponibili le dispense che coprono gli argomenti del corso. Per approfondimenti, si può consultare, ad esempio,

Tom Apostol - Calcolo vol. 3 Analisi 2 Bollati Boringhieri
Marco Bramanti, Carlo D. Pagani, Sandro Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli