PRESENTAZIONE

Il corso "Analisi Matematica I" ha lo scopo di fornire agli studenti alcuni strumenti matematici di base, sia teorici che di calcolo, utili sia alla comprensione degli argomenti che alla risoluzione dei problemi di carattere ingegneristico che incontreranno in tutti i corsi caratterizzanti.

Il corso si focalizzerà soprattutto sullo studio di funzioni di una o più variabili reali, sul relativo calcolo differenziale e integrale, sulla risoluzione di equazioni differenziali e serie di funzioni.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Il corso fornisce i fondamenti del calcolo integro - differenziale per le funzioni di una e piu' variabili e i primi elementi di studio per equazioni differenziali ordinarie.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L’insegnamento "Analisi Matematica I" ha lo scopo di fornire agli studenti gli strumenti matematici di base necessari ad affrontare futuri studi in campo ingegneristico.

Al termine del corso lo studente avrà acquisito conoscenze teoriche sufficienti

• ad identificare e comprendere problemi di carattere generale in ambito ingegneristico inerenti quantità modellizzate matematicamente;
• ad analizzare e modellizzare oggetti geometrici e fisici relativi a funzioni di una o più variabili reali, e calcolare quantità ad essi associate;
• ad applicare strumenti matematici di risoluzione nell’ambito del calcolo differenziale delle funzioni di una o più variabili reali;
• ad applicare strumenti matematici di risoluzione nell’ambito del calcolo integrale delle funzioni di una variabile reale;
• alla classificazione e al calcolo dei valori massimi e minimi non vincolati delle funzioni di più variabili, utili in ambiti applicativi di ottimizzazione;
• ad analizzare e modellizzare oggetti geometrici relativi a curve, e calcolare quantità ad essi associate;
• a comprendere e risolvere modelli semplici relativi ad equazioni differenziali ordinarie, mediante le quali vengono rappresentati fenomeni fisici di interesse ingegneristico;
• a conoscere il concetto di serie numerica e di serie di funzioni e a valutarne la convergenza, utile nel calcolo approssimato di grandezze in ambito numerico-computazionale.

PREREQUISITI

Algebra elementare: calcolo letterale, polinomi, equazioni e disequazioni, trigonometria piana.

MODALITA' DIDATTICHE

L’attività didattica del corso annuale è costituita da 120 ore di lezioni frontali svolte dai docenti, divise in 72 ore di lezioni teoriche e 48 ore di esercitazioni. Durante le lezioni teoriche vengono introdotti e spiegati gli argomenti nella loro impostazione classica (definizioni e relativi teoremi), unitamente a molti esempi di carattere euristico-intuitivo. Durante le esercitazioni verranno invece risolti esercizi relativi agli argomenti trattati nelle lezioni di teoria.

In aggiunta, è prevista attività di tutorato, per la risoluzione guidata di ulteriori esercizi, a frequenza libera.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Il programma dell’insegnamento prevede lo studio teorico e la risoluzione di esercizi nei seguenti argomenti:

• Teoria degli insiemi, logica (cenni). Proprietà delle funzioni elementari. Grafici delle funzioni elementari in una variabile reale.
• Successioni e loro proprietà. Limiti di successioni, limiti notevoli; successioni definite ricorsivamente.
• Funzioni di una variabile reale. Limiti. Teorema del confronto dei limiti, teorema dell’unicità del limite, teorema della permanenza del segno. Limiti notevoli. Funzioni continue e teoremi sulle funzioni continue, in particolare: teorema degli zeri e teorema di Weierstrass.
• Funzioni derivabili e teoremi sulle funzioni derivabili, in particolare: teorema della derivata della funzione composta, teorema della derivata della funzione inversa, teorema di Rolle, teorema di Lagrange, teorema di Cauchy. Formula di Taylor. Teorema dell’Hospital. Applicazione del calcolo differenziale nello studio del grafico di una funzione di una variabile reale. Estremi relativi, concavità e flessi.
• Definizione di integrale definito e teoremi sugli integrali definiti. Integrale indefinito: definizione, proprietà e teoremi relativi. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Teorema della media integrale. Integrali impropri e teoremi relativi.
• Curve in forma parametrica, rettificazione. Terna intrinseca.
• Funzioni di più variabili reali. Limiti e continuità. Derivate direzionali. Funzioni differenziabili. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti per la differenziabilità. Derivazione di funzioni composte. Derivate successive, Teorema di Schwarz e polinomio di Taylor in più variabili. Massimi e minimi relativi non vincolati, condizioni necessarie e sufficienti, Hessiano.
• Equazioni differenziali del primo ordine, a variabili separabili, lineari, di tipo omogeneo, di Bernoulli, di Riccati. Teorema di esistenza e unicità (cenni). Equazioni differenziali lineari. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, omogenee e non omogenee, di ordine superiore.
• Serie numeriche. Criteri di convergenza per serie numeriche a segno costante. Serie numeriche a segni alterni e serie assolutamente convergenti. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale. Criteri di convergenza. Derivazione e integrazione di serie di funzioni (cenni). Serie di potenze, raggio di convergenza. Sviluppabilità in serie di Taylor.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale scaricabile dalla pagina web del corso sono sufficienti per la preparazione dell'esame.

Più in dettaglio, possono comunque risultare utili i materiali seguenti:

• dispense di teoria “MATEMATICA I” e “MATEMATICA II” del prof. Maurizio Romeo, scaricabili gratuitamente dalla pagina web del corso;
• fogli contenenti link a pagine web con diversi esercizi risolti, scaricabili gratuitamente dalla pagina web del corso;
• testi di esercizi “Laura Recine - Maurizio Romeo, Esercizi di analisi matematica - Volume I e Volume II, Maggioli Editore”.
• P. Marcellini – C. Sbordone: Calcolo, Liguori Editore, Napoli, or any other good text of mathematical analysis.
• M.Baronti-F.De Mari-R.Van Der Putten-I.Venturi: Calculus Problems, Springer

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

CLAUDIO ESTATICO (Presidente)

MARCO BARONTI (Presidente Supplente)

ULDERICO FUGACCI (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

In accordo con il calendario accademico approvato dal Consiglio del Corso di Studi.

Orari delle lezioni

ANALISI MATEMATICA I

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.

La prova scritta consiste nella risoluzione di esercizi su diversi argomenti del corso. Lo scritto dovrà essere effettuato prima della prova orale e potrà essere sostenuto sia in appelli precedenti, che nello stesso appello in cui lo studente intende sostenere l’esame orale.

Alla prova orale possono accedere solo gli studenti che hanno precedentemente superato la prova scritta con una votazione maggiore o uguale a 16/30.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

La prova scritta consiste nella risoluzione di alcuni esercizi, scelti tra i seguenti gruppi di argomenti del corso

• studio della continuità e della derivabilità di funzioni di una variabile reale contenenti un parametro,
• studio del grafico di una funzione di una variabile reale,
• calcolo di integrali, indefiniti e definiti, di funzioni di una variabile reale
• calcolo del polinomio di Taylor per effettuare calcoli approssimati con errore assegnato,
• studio delle funzioni di più variabili, continuità e differenziabilità, massimi e minimi non vincolati,
• equazioni differenziali ordinarie,
• serie numeriche, serie di potenze.

 La tipologia di ogni singolo esercizio esercizi è affine a quanto svolto durante le lezioni.

La prova orale, a cui lo studente accede dopo aver superato la prova scritta, verte principalmente sugli argomenti di carattere teorico svolti dal docente (ossia definizioni, teoremi e dimostrazioni), e si prefigge di accertare la comprensione degli stessi, anche mediante la discussione e la giustificazione intuitiva dei concetti analitici e geometrici. In alcuni casi potrà essere chiesto di risolvere un esercizio di una tipologia già affrontata e risolta durante le lezioni.

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Modalità di frequenza: fortemente consigliata.