OBIETTIVI FORMATIVI

The course aims to provide a study of the most common partial differential equations (PDE) and their solution techniques through an analysis of various applications. The emphasis is devoted to second order PDE and the understanding of the specific analytical techniques for solving elliptic, parabolic and hyperbolic cases. The course also provides the tools to solve problems in various applications with numerical methods implemented through the use of Matlab.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

La partecipazione attiva alle lezioni frontali e lo studio individuale permetteranno allo studente di:

• saper classificare le principali equazioni alle derivate parziali;
• calcolare la soluzione analitica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico;
• utilizzare le tecniche di separazione di variabili, serie e la trasformata di Fourier, funzioni speciali.
• scegliere il metodo numerico più adatto per risolvere alcuni problemi che richiedono una risoluzione numerica;
• comprendere perché possono apparire delle instabilità numeriche o la mancanza di convergenza e come evitare tali difficoltà;
• implementare tali metodi utilizzando Matlab, il software di calcolo scientifico più utilizzato nel mondo;
• essere in grado di utilizzare funzioni di Matlab diverse da quelle viste durante il corso e fare il debug del codice.

MODALITA' DIDATTICHE

Il modulo è basato su lezioni teoriche, affiancate per la parte di metodi numerici, da esercitazioni con l'utilizzazione di Matlab.

PROGRAMMA/CONTENUTO

I principali argomenti trattati sono qui di seguito elencati:

1. Analisi di fenomeni e motivazioni che portano allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali. La fune elastica e la transizione dai sistemi discreti ai sistemi continui.

2. Le equazioni differenziali del secondo ordine. La classificazione e la forma normale. Equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.

3. Equazioni ellittiche. Proprietà delle funzioni armoniche; i problemi di Dirichlet e di Neumann, la formula di Poisson per il cerchio.

4. Le tecniche generali di soluzione separazione di variabili; la serie e la trasformata di Fourier; l'effetto Gibbs; l'analisi in modi normali; la “funzione” delta di Dirac; i casi bi-tridimensionale.

5. Le funzioni speciali: le funzioni di Bessel J,Y, I, K; le serie di Fourier Bessel e di Dini; le trasformate di Fourier in coordinate polari: la trasformata di Hankel . Applicazioni ai problemi in coordinate polari.

6. Le equazioni differenziali paraboliche; l'equazione della diffusione e del calore; descrizioni nel dominio dello spazio e del tempo; nucleo del calore.

7. Le equazioni di tipo iperbolico: l’equazione di D'Alembert, il metodo delle caratteristiche, la membrana elastica, l’interpretazione meccanico-dinamica dei modi normali; il problema di Cauchy e il dominio futuro di dipendenza.

8. PDE di ordine superiore: l'equazione biarmonica; il relativo problema di Cauchy.

9. Le equazioni non omogenee: le sorgenti distribuite e puntiformi; la funzione di Green e la sua interpretazione sistemistica come funzione di trasferimento; la descrizione con la funzione delta di Dirac.

10. I metodi numerici per la risoluzione di equazioni e sistemi non lineari.

11. L'interpolazione polinomiale, data fitting, metodo dei minimi quadrati.

12. La risoluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.

13. I metodi numerici per l’ottimizzazione vincolata e non vincolata.

14. Il metodo differenze finite per risolvere equazioni alle derivate parziali.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Gli appunti presi durante le lezioni ed il materiale fornito (dispense della parte teorica e tutorial di Matlab) sono sufficienti per la preparazione dell’esame. I libri sotto indicati sono suggeriti come eventuali testi di appoggio ed approfondimento.

• A.N.Tichonov, A.A.Samarskij: Equazioni della Fisica matematica, Problemi della fisica matematica, Mosca,1982;
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Phisics vol I e II, Interscience, NY, 1973;
• R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, New York: McGraw-Hill, 1999;
• P. V. O’ Neil, Advanced engineering mathematica, Brooks Cole, 2003;
• H. Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna, 1985;
• V. I. Smirnov. Corso di Matematica superiore, Vol. 3. MIR (1978).
• Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, Sprinter-Verlag 2006.
• Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer-Verlag 2008.
• S. Chapra, R. Canale, Numerical methods for Engineers, McGraw-Hill, 2018