PRESENTAZIONE

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Presentare lo studio delle forme canoniche delle matrici e l’applicazione a problemi di classificazione nell’ambito della geometria affine.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo di questo insegnamento è consolidare le tecniche già apprese nel precedente modulo dello stesso insegnamento. In particolare l'obiettivo dell'insegnamento è introdurre:

1. Diagonalizzabilità e diagonalizzazione di applicazioni lineari: definizioni e proprietà degli endomorfismi diagonalizzabili; autovalori, autovettori, autospazi; polinomio caratteristico di un endomorfismo, proprietà e relazione con gli autovalori; criterio di diagonalizzabilità.
2. Triangolabilità e triangolazione di endomorfismi: definizione e proprietà degli endomorfismi triangolabili; criterio di triangolabilità; spazi caratteristici, Lemma dei nuclei e Teorema di Cayley-Hamilton; endomorfismi nilpotenti e loro triangolazione mediante completamento delle basi delle potenze successive dei nuclei e mediante la decomposizione di Jordan; triangolazione di endomorfismi in generale.
3. Applicazioni bilineari: spazio vettoriale duale, base duale, applicazione lineare trasposta; forme e applicazioni bilineari e proprietà, matrice di una forma bilineare e proprietà (forme bilineari simmetriche, forme bilineari non degeneri), congruenza di matrici. Carattere di definizione di una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale reale, spazi vettoriali euclidei, norme e angoli, ortogonalità, proiezioni ortogonali; basi ortonormali teorema di Gram-Schmidt, complemento ortogonale di un sottospazio.
4. Endomorfismi tra spazi vettoriali euclidei: isometrie e loro caratterizzazioni, matrici ortogonali e ortogonali speciali, proprietà, descrizione delle isometrie del piano; endomorfismi autoaggiunti e loro caratterizzazioni, matrici simmetriche, teorema spettrale reale, diagonalizzazione di endomorfismi autoaggiunti mediante basi ortonormali. Segnatura di una matrice simmetrica reale, teorema di inerzia di Sylvester.
5. Coniche e quadriche: definizione di quadrica, matrice associata ad una quadrica e matrice della forma quadratica. Classificazione delle quadriche mediante trasformazioni affini, proprietà geometriche di coniche e quadriche, fasci di coniche.
6. Spazi affini e proiettivi: definizione di spazio affine su un campo, e di spazio affine euclideo, e loro proprietà. Rette, piani, iperpiani in uno spazio affine, i cinque postulati di Euclide; trasformazioni affini, sistemi di coordinate e cambiamenti di coordinate. Spazi proiettivi: motivazioni, modelli degli spazi proiettivi. Rette, piani, iperpiani in uno spazio proiettivo, il quinto postulato di Euclide non vale in geometria proiettiva. Coordinate omogenee, equazioni di rette e piani, carte affini, punti all'infinito. Proiettività: definizione, proprietà, caratterizzazione di punti fissi, rette fisse, rette di punti fissi mediante l'uso dell'algebra lineare.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di:

1. Stabilire se un endomorfismo è diagonalizzabile e diagonalizzarlo.
2. Stabilire se un endomorfismo è triangolabile e determinarne la forma canonica di Jordan.
3. Lavorare con forme bilineari.
4. Classificare coniche e quadriche proiettive e affini. 

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale: lezione frontale. 

 La frequenza è caldamente consigliata 

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Diagonalizzazione e triangolazione
2. Spazi vettoriali euclidei
3. Isometrie e endomorfismi autoaggiunti
4. Coniche e quadriche
5. Spazi affini e proiettivi

TESTI/BIBLIOGRAFIA

A. Bernardi, A. Gimigliano: Algebra Lineare e Geometria Analitica, Città Studi Edizioni

E. Sernesi: Geometria vol. 1, Bollati-Boringhieri.

D. Gallarati: Appunti di Geometria, Di Stefano Editore-Genova.

F. Odetti, M. Raimondo: Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG Universitas.

M. Abate: Algebra Lineare, McGraw-Hill.

C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati-Boringhieri

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

ARVID PEREGO (Presidente)

ELEONORA ANNA ROMANO

MATTEO PENEGINI (Presidente Supplente)

MARIA EVELINA ROSSI (Presidente Supplente)

SIMONE DI MARINO (Supplente)

LEZIONI

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Scritto, Orale.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Durante l'esame orale lo studente dovrà essere in grado di: dimostrare i teoremi presentati a lezione, riportare corettamente tutte le definizione e risolvere esercizi, anche elaborati, di algebra lineare e geometria analitica. 

Calendario appelli