PRESENTAZIONE

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Presentare lo studio delle forme canoniche delle matrici e l’applicazione a problemi di classificazione nell’ambito della geometria affine.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo di questo insegnamento è consolidare le tecniche già apprese nel precedente modulo dello stesso insegnamento. In particolare l'obiettivo dell'insegnamento è introdurre:

1. Diagonalizzabilità e diagonalizzazione di applicazioni lineari: definizioni e proprietà degli endomorfismi diagonalizzabili; autovalori, autovettori, autospazi; polinomio caratteristico di un endomorfismo, proprietà e relazione con gli autovalori; criterio di diagonalizzabilità.
2. Triangolabilità e triangolazione di endomorfismi: definizione e proprietà degli endomorfismi triangolabili; criterio di triangolabilità; spazi caratteristici, Lemma dei nuclei e Teorema di Cayley-Hamilton; endomorfismi nilpotenti e loro triangolazione mediante completamento delle basi delle potenze successive dei nuclei e mediante la decomposizione di Jordan; triangolazione di endomorfismi in generale.
3. Applicazioni bilineari: spazio vettoriale duale, base duale, applicazione lineare trasposta; forme e applicazioni bilineari e proprietà, matrice di una forma bilineare e proprietà (forme bilineari simmetriche, forme bilineari non degeneri), congruenza di matrici. Carattere di definizione di una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale reale, spazi vettoriali euclidei, norme e angoli, ortogonalità, proiezioni ortogonali; basi ortonormali teorema di Gram-Schmidt, complemento ortogonale di un sottospazio.
4. Endomorfismi tra spazi vettoriali euclidei: isometrie e loro caratterizzazioni, matrici ortogonali e ortogonali speciali, proprietà, descrizione delle isometrie del piano; endomorfismi autoaggiunti e loro caratterizzazioni, matrici simmetriche, teorema spettrale reale, diagonalizzazione di endomorfismi autoaggiunti mediante basi ortonormali. Segnatura di una matrice simmetrica reale, teorema di inerzia di Sylvester.
5. Coniche e quadriche: definizione di quadrica, matrice associata ad una quadrica e matrice della forma quadratica. Classificazione delle quadriche mediante trasformazioni affini, proprietà geometriche di coniche e quadriche, fasci di coniche.
6. Spazi affini e proiettivi: definizione di spazio affine su un campo, e di spazio affine euclideo, e loro proprietà. Rette, piani, iperpiani in uno spazio affine, i cinque postulati di Euclide; trasformazioni affini, sistemi di coordinate e cambiamenti di coordinate. Spazi proiettivi: motivazioni, modelli degli spazi proiettivi. Rette, piani, iperpiani in uno spazio proiettivo, il quinto postulato di Euclide non vale in geometria proiettiva. Coordinate omogenee, equazioni di rette e piani, carte affini, punti all'infinito. Proiettività: definizione, proprietà, caratterizzazione di punti fissi, rette fisse, rette di punti fissi mediante l'uso dell'algebra lineare.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di:

1. Stabilire se un endomorfismo è diagonalizzabile e diagonalizzarlo.
2. Stabilire se un endomorfismo è triangolabile e determinarne la forma canonica di Jordan.
3. Lavorare con forme bilineari.
4. Classificare coniche e quadriche proiettive e affini. 

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale: lezione frontale. 

 La frequenza è caldamente consigliata 

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Diagonalizzazione e triangolazione
2. Spazi vettoriali euclidei
3. Isometrie e endomorfismi autoaggiunti
4. Coniche e quadriche
5. Spazi affini e proiettivi

TESTI/BIBLIOGRAFIA

A. Bernardi, A. Gimigliano: Algebra Lineare e Geometria Analitica, Città Studi Edizioni

E. Sernesi: Geometria vol. 1, Bollati-Boringhieri.

D. Gallarati: Appunti di Geometria, Di Stefano Editore-Genova.

F. Odetti, M. Raimondo: Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG Universitas.

M. Abate: Algebra Lineare, McGraw-Hill.

C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati-Boringhieri

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

ARVID PEREGO (Presidente)

ELEONORA ANNA ROMANO

MATTEO PENEGINI (Presidente Supplente)

MARIA EVELINA ROSSI (Presidente Supplente)

SIMONE DI MARINO (Supplente)

LEZIONI

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Scritto, Orale.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Durante l'esame orale lo studente dovrà essere in grado di: dimostrare i teoremi presentati a lezione, riportare corettamente tutte le definizione e risolvere esercizi, anche elaborati, di algebra lineare e geometria analitica. 

Calendario appelli