PRESENTAZIONE

Viene presentata la teoria delle catene di Markov, sia a tempi discreti che continui, con particolare riguardo ai Processi di Poisson e alla teoria delle code. Si vuole fornire allo/alla studente la capacità di tradurre in termini di catene di Markov (quando possibile) dei problemi concreti di evoluzione stocastica, costruendo e analizzarando i relativi modelli probabilistici associati.

L'insegnamento contribuisce al raggiungimento degli obiettivi 4 e 5 di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda ONU 2030.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Introdurre le catene di Markov e altri semplici processi stocastici per modellare e risolvere problemi reali di evoluzione stocastica.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L'obiettivo è quello di far apprendere agli/alle studenti il linguaggio delle catene di Markov, in modo che possano essere capaci di costruire un modello appropriato per problemi reali di evoluzioni stocastiche markoviane a valori in un insieme finito o numerabile (detto insieme degli stati).

Al termine del corso gli/le studenti dovranno:                                                                                                                            -conoscere la teoria generale delle catene di Makov sia a tempo discreto che continuo.

-saper esporre in modo corretto definizioni, enunciati e dimostrazioni e produrre relativi esempi e controesempi.                                                                                                                                                                                                          -tradurre nel linguaggio delle catene di Markov alcune situazioni riguardanti la teoria delle code (ossia la teoria che analizza le modalità di accesso di file di persone ad uno o più servizi), ed essere in grado di studiare l'efficienza del modello.                                                                                

PREREQUISITI

Calcolo delle Probabilità

Maggiori dettagli sulla pagina web dell'insegnamento su Aulaweb dell'anno accademico in corso.

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento si svolge in maniera tradizionale, con lezioni frontali di teoria ed esercizi tenute dal/dalla docente alla lavagna.                                                                                                                                                          

Durante il periodo delle lezioni verranno fatte due esercitazioni guidate (una a metà e l'altra alla fine) per dare agli/alle studenti la possibilità di capire il loro grado di preparazione e chiarire insieme eventiali dubbi.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma fortemente consigliata.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Catene di Markov a tempo discreto.  Classificazione di stati. Criteri per la transienza e la ricorrenza. Probabilità e tempo medio di assorbimento nelle classi ricorrenti. Leggi invarianti. Teoremi limite. Convergenza verso leggi invarianti.                                           

Applicazioni: Passeggiate aleatorie.

Catene di Markov a tempo continuo. Matrice dei tassi ed equazioni di Chapman-Kolmogorov. Tempo della prima uscita da uno stato della catena, leggi invarianti, catena dei salti, catene di nascita e morte, processo di Poisson.

Cenni alla teoria delle code. Code M/M/k: modellizzazione, stazionarietà, numero medio di clienti nel sistema, tempo medio di permanenza nel sistema. Esempi di code M/M/k/0.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

P. Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

W. Feller, An introduction to Probability Theory and its Applications

S. Karlin, H.M. Taylor, A First Course in Stochastic Processes.

S. Karlin, H.M. Taylor, A Second Course in Stochastic Processes.

S.M. Ross, Introduction to Probability Models.

G. Grimmett, D. Stirzaker, (2001). Probability and Random Processes. 

J.R. Norris. Markov Chains.

P. Brémaud. Markov Chains: Gibbs Fields, Montecarlo Simulation, and Queues.

Dispense.

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale su aulaweb sono sufficienti per la preparazione dell'esame.

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

VERONICA UMANITA' (Presidente)

DAMIANO POLETTI

EMANUELA SASSO (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 23 settembre 2024 secondo l'orario riportato qui 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L’esame si compone di una parte scritta e una orale. Lo scritto dovrà essere effettuato prima della prova orale e potrà essere sostenuto sia in appelli precedenti, che nello stesso appello in cui lo/la studente intende sostenere l’esame orale. La prova scritta verrà ritenuta valida fino all’appello del mese di settembre dell’anno accademico in cui è stata sostenuta. Dopo tale data, lo/la studente dovrà ripetere la prova scritta.  L'esame scritto è superato solo con voto maggiore o uguale a 18.                                             

La prova scritta prevede 2 esercizi, uno sulla parte discreta a l'altro su quella continua. La durata della prova è di 3 ore ed è possibile consultare gli appunti del corso (compresi gli esercizi svolti in aula) e le dispense.

La prova orale verterà sull'esposizione di argomenti teorici, dimostrazioni ed esercizi. In particolare agli studenti/alle studentesse della LM in Matematica verrà anche chiesta una dimostrazione tra quelle non svolte a lezione ma segnalate dal docente.

Per partecipare alla prova scritta bisogna iscriversi sul sito di UNIGE (https://servizionline.unige.it/studenti/esami/prenotazione).

Saranno disponibili 2 appelli di esame per la sessione invernale (gennaio-febbraio) e 3 appelli per quella estiva (giugno, luglio e settembre). Per gli/le studenti di Smid è previsto anche un appello verso la metà dicembre. Non verranno concessi appelli straordinari al di fuori di quelli indicati nel regolamento del Corso di Studio, fatta eccezione per coloro che sono fuori corso.

Per gli studenti con disabilità o con DSA si rimanda alla sezione Altre Informazioni.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Le prove servono a valutare l'apprendimento e la comprensione generale degli argomenti trattati, e la capacità di applicare tali concetti. A tal fine, nella prova scritta si richiede di giustificare in modo chiaro quanto scritto.                      Durante la prova orale si valuta l'esposizione appropriata della teoria vista a lezione, la capacità di ragionare e dimostrare i principali risultati ottenuti, di svolgere gli esercizi proposti e di saper trovare esempi e controesempi.

il voto scritto serve come base per il punteggio finale, e viene corretto dalla performance orale, sia in positivo che negativo.

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Su richiesta degli studenti, le lezioni e/o l'esame possono essere svolti in inglese.

Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre prima inserire la certificazione sul sito web di Ateneo alla pagina servizionline.unige.it nella sezione “Studenti”. La documentazione sarà verificata dal Settore servizi per l’inclusione degli studenti con disabilità e con DSA dell’Ateneo, come indicato sul sito federato al link: STATISTICA MATEMATICA E TRATTAMENTO INFORMATICO DEI DATI 8766 | Studenti con disabilità e/o DSA | UniGe | Università di Genova | Corsi di Studio UniGe

Successivamente, con significativo anticipo (almeno 10 giorni) rispetto alla data di esame occorre inviare una e-mail al/alla docente con cui si sosterrà la prova di esame, inserendo in copia conoscenza sia il docente Referente di Scuola per l'inclusione degli studenti con disabilità e con DSA (sergio.didomizio@unige.it) sia il Settore sopra indicato. Nella e-mail occorre specificare:

•            la denominazione dell’insegnamento

•            la data dell'appello

•            il cognome, nome e numero di matricola dello studente

•            gli strumenti compensativi e le misure dispensative ritenuti funzionali e richiesti.

Il/la referente confermerà al/alla docente che il/la richiedente ha diritto a fare richiesta di adattamenti in sede d'esame e che tali adattamenti devono essere concordati con il/la docente. Il/la docente risponderà comunicando se sia possibile utilizzare gli adattamenti richiesti.

Le richieste devono essere inviate almeno 10 giorni prima della data dell’appello al fine di consentire al/alla docente di valutarne il contenuto. In particolare, nel caso in cui si intenda usufruire di mappe concettuali per l’esame (che devono essere molto più sintetiche rispetto alle mappe usate per lo studio) se l’invio non rispetta i tempi previsti non vi sarà il tempo tecnico necessario per apportare eventuali modifiche.

Per ulteriori informazioni in merito alla richiesta di servizi e adattamenti consultare il documento: Linee guida per la richiesta di servizi, di strumenti compensativi e/o di misure dispensative e di ausili specifici