OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo del corso è presentare agli studenti gli elementi di base dell' algebra lineare, e della geometria affine ed euclidea. Tali argomenti fanno parte dei fondamenti dello studio della matematica moderna e verranno utilizzati in tutti i corsi successivi. Obiettivo non secondario, inoltre, è mostrare agli studenti una teoria che è fortemente motivata da problemi concreti, e che si può trattare in maniera esauriente e rigorosa.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Lo scopo di questo insegnamento è consolidare le tecniche già apprese nel precedente modulo dello stesso insegnamento. In particolare l'obiettivo dell'insegnamento è introdurre:

1. Diagonalizzabilità e diagonalizzazione di applicazioni lineari: definizioni e proprietà degli endomorfismi diagonalizzabili; autovalori, autovettori, autospazi; polinomio caratteristico di un endomorfismo, proprietà e relazione con gli autovalori; criterio di diagonalizzabilità.
2. Triangolabilità e triangolazione di endomorfismi: definizione e proprietà degli endomorfismi triangolabili; criterio di triangolabilità; spazi caratteristici, Lemma dei nuclei e Teorema di Cayley-Hamilton; endomorfismi nilpotenti e loro triangolazione mediante completamento delle basi delle potenze successive dei nuclei e mediante la decomposizione di Jordan; triangolazione di endomorfismi in generale.
3. Applicazioni bilineari: spazio vettoriale duale, base duale, applicazione lineare trasposta; forme e applicazioni bilineari e proprietà, matrice di una forma bilineare e proprietà (forme bilineari simmetriche, forme bilineari non degeneri), congruenza di matrici. Carattere di definizione di una forma bilineare simmetrica su uno spazio vettoriale reale, spazi vettoriali euclidei, norme e angoli, ortogonalità, proiezioni ortogonali; basi ortonormali teorema di Gram-Schmidt, complemento ortogonale di un sottospazio.
4. Endomorfismi tra spazi vettoriali euclidei: isometrie e loro caratterizzazioni, matrici ortogonali e ortogonali speciali, proprietà, descrizione delle isometrie del piano; endomorfismi autoaggiunti e loro caratterizzazioni, matrici simmetriche, teorema spettrale reale, diagonalizzazione di endomorfismi autoaggiunti mediante basi ortonormali. Segnatura di una matrice simmetrica reale, teorema di inerzia di Sylvester.
5. Coniche e quadriche: definizione di quadrica, matrice associata ad una quadrica e matrice della forma quadratica. Classificazione delle quadriche mediante trasformazioni affini, proprietà geometriche di coniche e quadriche, fasci di coniche.
6. Spazi affini e proiettivi: definizione di spazio affine su un campo, e di spazio affine euclideo, e loro proprietà. Rette, piani, iperpiani in uno spazio affine, i cinque postulati di Euclide; trasformazioni affini, sistemi di coordinate e cambiamenti di coordinate. Spazi proiettivi: motivazioni, modelli degli spazi proiettivi. Rette, piani, iperpiani in uno spazio proiettivo, il quinto postulato di Euclide non vale in geometria proiettiva. Coordinate omogenee, equazioni di rette e piani, carte affini, punti all'infinito. Proiettività: definizione, proprietà, caratterizzazione di punti fissi, rette fisse, rette di punti fissi mediante l'uso dell'algebra lineare.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di:

1. Stabilire se un endomorfismo è diagonalizzabile e diagonalizzarlo.
2. Stabilire se un endomorfismo è triangolabile e determinarne la forma canonica di Jordan.
3. Lavorare con forme bilineari.
4. Classificare coniche e quadriche proiettive e affini. 

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale: lezione frontale. 

 La frequenza è caldamente consigliata 

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Diagonalizzazione e triangolazione
2. Spazi vettoriali euclidei
3. Isometrie e endomorfismi autoaggiunti
4. Coniche e quadriche
5. Spazi affini e proiettivi

TESTI/BIBLIOGRAFIA

A. Bernardi, A. Gimigliano: Algebra Lineare e Geometria Analitica, Città Studi Edizioni

E. Sernesi: Geometria vol. 1, Bollati-Boringhieri.

D. Gallarati: Appunti di Geometria, Di Stefano Editore-Genova.

F. Odetti, M. Raimondo: Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG Universitas.

M. Abate: Algebra Lineare, McGraw-Hill.

C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati-Boringhieri

DOCENTI E COMMISSIONI

Commissione d'esame

EMANUELA DE NEGRI (Presidente)

VICTOR LOZOVANU

MARIA ROSARIA PATI (Presidente Supplente)

MATTEO PENEGINI (Presidente Supplente)

ELEONORA ANNA ROMANO (Presidente Supplente)

FABIO TANTURRI (Presidente Supplente)

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 17 febbraio 2025 secondo l'orario riportato qui 

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

Scritto, Orale.

Per gli studenti con disabilità o con DSA si rimanda alla sezione Altre Informazioni.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Durante l'esame orale lo studente dovrà essere in grado di: dimostrare i teoremi presentati a lezione, riportare corettamente tutte le definizione e risolvere esercizi, anche elaborati, di algebra lineare e geometria analitica. 

Calendario appelli

ALTRE INFORMAZIONI

Si ricorda alle studentesse e agli studenti con disabilità o con disturbi specifici dell'apprendimento (DSA) che per poter richiedere adattamenti in sede d'esame occorre prima inserire la certificazione sul sito web di Ateneo alla pagina servizionline.unige.it nella sezione “Studenti”. La documentazione sarà verificata dal Settore servizi per l’inclusione degli studenti con disabilità e con DSA dell’Ateneo, come indicato sul sito federato al link: STATISTICA MATEMATICA E TRATTAMENTO INFORMATICO DEI DATI 8766 | Studenti con disabilità e/o DSA | UniGe | Università di Genova | Corsi di Studio UniGe

Successivamente, con significativo anticipo (almeno 10 giorni) rispetto alla data di esame occorre inviare una e-mail al/alla docente con cui si sosterrà la prova di esame, inserendo in copia conoscenza sia il docente Referente di Scuola per l'inclusione degli studenti con disabilità e con DSA (sergio.didomizio@unige.it) sia il Settore sopra indicato. Nella e-mail occorre specificare:

•            la denominazione dell’insegnamento

•            la data dell'appello

•            il cognome, nome e numero di matricola dello studente

•            gli strumenti compensativi e le misure dispensative ritenuti funzionali e richiesti.

Il/la referente confermerà al/alla docente che il/la richiedente ha diritto a fare richiesta di adattamenti in sede d'esame e che tali adattamenti devono essere concordati con il/la docente. Il/la docente risponderà comunicando se sia possibile utilizzare gli adattamenti richiesti.

Le richieste devono essere inviate almeno 10 giorni prima della data dell’appello al fine di consentire al/alla docente di valutarne il contenuto. In particolare, nel caso in cui si intenda usufruire di mappe concettuali per l’esame (che devono essere molto più sintetiche rispetto alle mappe usate per lo studio) se l’invio non rispetta i tempi previsti non vi sarà il tempo tecnico necessario per apportare eventuali modifiche.

Per ulteriori informazioni in merito alla richiesta di servizi e adattamenti consultare il documento: Linee guida per la richiesta di servizi, di strumenti compensativi e/o di misure dispensative e di ausili specifici