OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Introduzione al trattamento rigoroso dell'analisi matematica, sviluppando contemporaneamente i metodi del calcolo differenziale e integrale nel contesto delle funzioni reali di una variabile reale.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

I risultati attesi dell'apprendimento prevedono che lo studente sappia maneggiare gli strumenti di base dell'analisi e del calcolo. Si prevede che lo studente abbia capito le dimostrazioni e sappia impostare e scrivere dimostrazioni di semplici enunciati.

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento prevede lezioni di teoria  e di esercizi  coordinate fra loro. È previsto un tutorato didattico parallelo al corso per permettere allo studente di monitorare la sua preparazione in itinere. Verranno caricati su aulaweb fogli di esercizi al termine di ogni argomento trattato.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Numeri reali. Gli assiomi di campo.  Gli assiomi dell’ordine. Proprietà dell’ordine. Valore assoluto: definizione. Proprietà del valore assoluto. Insiemi induttivi. I numeri naturali. Il teorema di induzione. Il principio di induzione. Un esempio di dimostrazione per induzione.  Proprietà dei numeri naturali. Numeri interi e naturali. Irrazionalità della radice di due.L’assioma di completezza. Consegiuenze della completezza: classi separate, intervalli inscatolati, archimedeità. Allineamenti decimali finiti o  periodici. Allineamenti infiniti. 

Funzioni. Prodotto cartesiano. Relazioni: dominio, immagine, controimmagine, relazione inversa. Iniettività surgettività.  Restrizioni, estensioni, funzione identità, composizione di funzioni. Interpretazione grafica di iniettività e surgettività. Invertibilità. Operazioni sui grafici. Decomposizione in parte pari e parte dispari.

Limiti. Topologia di R. Punti di accumulazione. Definizione di limite.Unicità. Prime proprietà dei limiti. Permanenza del segno. Teoremi di confronto. Algebra dei limiti. Limiti di funzioni elementari. Continuità: definizione. Cambio di variabili nei limiti. Continuità della composta. Limiti destri e sinistri, all’infinito e infiniti.  Limiti di funzioni monotone

Successioni. Limiti di successioni. Il teorema del limte per successioni. Successioni definite per ricorrenze. Succesioni estratte. Estratte monotone. Enunciato del teorema di Bolzano Weierstrass. Teorema di Bolzano Weierstrass. 

Funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Il teorema degli zeri. Applicazioni del teorema degli zeri: soluzione di equazioni, soluzione di disequazioni. Il teorema dei valori intermedi. Continuità della funzione inversa. La funzione esponenziale su N e su Q. La funzione esponenziale sui reali. La funzione logaritmo. Limiti notevoli di esponenziale e logaritmo. Il numero di Nepero.

Derivate. Definizione di derivata. Differenziabilità: il teorema del differenziale. Algebra delle derivate. Derivata della funzione composta e della funzione inversa. Le funzioni trigonometriche iperboliche.

Calcolo differenziale. Il Teorema di Fermat e il teorema di Rolle. Il teorema di Lagrange e il teorema di Cauchy. Corollari del teorema di Lagrange. Il teorema di Darboux. I teoremi dell’Hopital.  Applicazioni al calcolo dei limiti di forme indeterminate. Ordine di infinitesimo e di infinito. Parti principali. La notazione o-piccolo di Landau. Sviluppi asintotici. Ordine di contatto di funzioni in un punto. 

Polinomi di Taylor. Formula di Taylor con resto di Peano. Polinomi di Taylor delle funzioni elementari. Studio dei punti di estremo relativo mediante le derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazione al calcolo di valori approssimati delle funzioni.

Funzioni convesse e funzioni concave. Caratterizzazione della convessità mediante la monotonia dei rapporti incrementali. Derivabilità e continuità delle funzioni convesse. Caratterizzazione delle funzioni convesse derivabili. Punti di flesso. Il metodo delle tangenti: illustrazione e dimostrazione.

 Integrali indefiniti. Applicazioni alla Fisica e alla Geometria. Condizioni necessarie per l’esistenza della primitiva. Condizione sufficiente. Unicità della primitiva passante per un punto.  L’integrale indefinito. Proprietà dell’integrale indefinito: linearità. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali: il metodo dei fratti semplici.

Integrali definiti.  Motivazione geometrica. Partizioni, funzioni a scala, integrale di funzioni a scala. Proprietà dell’integrale delle funzioni a scala. Definizione dell’integrale secondo Riemann. Criterio di integrabilità. Esempio di funzione non R-integrabile. Integrabilità delle funzione continue. Integrabilità delle funzione delle funzioni monotone. Proprietà dell’integrale: linearità, monotonia, additività. Integrabilità di f+, f_ e di |f|. L’integrale come limite di somme di Riemann. L’integrale orientato e le sue proprietà. Il teorema della media integrale.

Funzioni integrali e integrali impropri. Continuità della funzione integrale. Il primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Esistenza delle primitive delle funzioni continue. Ilsecondo teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione definita. Integrali impropri su intervalli illimitati. Proprietà dell’integrale improprio. Criteri di convergenza per funzioni ≥0: confronto e confronto asintotico.Criterio dell’ordine di infinitesimo.  Integrali assolutamente convergenti. Assoluta convergenza implica convergenza. Integrali convergenti ma non assolutamente convergenti. Integrali impropri del secondo tipo. Proprietà. Coda sugli integrali impropri: integrali in R, o su unioni di intervalli adiacenti. 

Serie numeriche. Introduzione. Successioni di Cauchy. Serie geometriche, telescopiche. Convergenza. Serie numeriche a termini non negativi: criterio del confronto, della radice, del rapporto di condensazione, dell’ordine, criterio integrale. Serie a segni alterni. Teorema di Leibniz.

Equazioni differenziali. Ordine di un’equazione, forma normale. Interpretazione geometrica delle equazioni del primo  ordine: campi di direzioni. Equazioni a variabili separabili. Esempi di soluzioni. Il problema di Cauchy. Esistenza e unicità della soluzione per equazioni a variabili separabili.  Esempi di non unicità delle soluzioni. L’equazione lineare del primo ordine non omogenea: formula risolutiva.  Equazioni lineare di ordine due. Struttura delle soluzioni. L’equazione del secondo ordine a coefficienti costanti. Equazione caratteristica. Soluzione generale dell’equazione lineare omogenea del secondo ordine: radici reali distinte, radice di molteplicità due.  Esponenziale complesso. Soluzione dell’equazione omogenea quando le radici dell’equazione caratteristica sono complesse. La ricerca di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea. Il metodo di similitudine e il metodo di variazione delle costanti. Esempi di applicazione del metodo di similitudine. Il metodo di variazione delle costanti.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

Libri consigliati:

• A. Bacciotti e F. Ricci, Analisi Matematica I, Liguori, 1994.
• M. Baronti, F. De Mari, R. Van der Putten, I. Venturi, Calculus Problems, Springer, 2016.

Ulteriori letture:

• T.M. Apostol, Calcolo. Vol. 1: Analisi 1, Bollati Boringhieri, 1985.
• P. M. Fitzpatrick, Advanced Calculus (Second Ed. ) American Mathematical Society, 2006.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 23 settembre 2024 secondo l'orario riportato qui 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consta di una prova scritta e di una prova orale.

Gli studenti iscritti al corso di studio in Fisica non sono tenuti allo studio delle dimostrazioni dei "6 teoremi" presenti nel file pubblicato su Aulaweb.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Prove scritte. 

1. Nel corso dell’anno saranno erogate due prove scritte intermedie (i cosiddetti “compitini”). Se uno studente ottiene una votazione media maggiore o uguale a 18/30 e se in entrambi riporta almeno 15/30, la media dei due voti vale come prova scritta e ne sostituisce lo svolgimento.

2. Una prova scritta con una votazione maggiore o uguale a 17/30 consente l’accesso alla prova orale.

3. Se uno studente consegna una prova scritta, si ritengono annullate le prove scritte consegnate in precedenza.

Nella prova scritta saranno presenti diversi esercizi sugli argomenti del programma  atti a valutare la capacità dello studente di utilizzare in maniera critica gli strumenti appresi durante il corso.

Prove orali. Durante la prova orale, la commissione interroga sull’intero programma. In particolare, verrà valutata la conoscenza delle definizioni dei concetti principali, e degli enunciati e dimostrazioni dei risultati più importanti, e verrà verificata la capacità di svolgere esercizi.