OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Scopo del corso è presentare agli studenti gli elementi di base dell' algebra lineare, e della geometria affine ed euclidea. Tali argomenti fanno parte dei fondamenti dello studio della matematica moderna e verranno utilizzati in tutti i corsi successivi. Obiettivo non secondario, inoltre, è mostrare agli studenti una teoria che è fortemente motivata da problemi concreti, e che si può trattare in maniera esauriente e rigorosa.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

Il primo semestre del corso prevede che vengano affrontati i seguenti argomenti:

1. Numeri complessi: definizione e motivazioni, operazioni tra numeri complessi, proprietà dei numeri complessi, equazioni con numeri complessi, con particolare interesse per la risoluzione delle equazioni polinomiali di grado 2 e per il calcolo delle radici complesse.

2. Matrici: definizioni e operazioni con le matrici, proprietà (potenze, divisori dello zero, matrici nilpotenti, invertibilità), determinante di una matrice quadrata, metodi di calcolo del determinante, con particolare attenzione al teorema di Laplace e alle operazioni elementari. Rango di una matrice, proprietà, metodo di calcolo del rango (teorema di Kronecker).

3. Sistemi lineari: risoluzione di sistemi di equazioni lineari usando il metodo di Gauss, e risultati sull'esistenza e la quantità di soluzioni di un sistema lineare sfruttando le proprietà della matrice associata al sistema lineare (teorema di Cramer, teorema di Rouché-Capelli)

4. Geometria nel piano e nello spazio: vettori e operazioni con i vettori (somma prodotto, prodotto scalare, prodotto vettoriale); rette e loro equazioni nel piano; rette e piani e loro equazioni nello spazio tridimensionale; posizione reciproca tra due rette, tra un piano e una retta, tra due piani; proiezione ortogonale di un punto su una retta o su un piano, proiezione ortogonale di una retta su un piano, e relativi simmetrici. Distanza di un punto da un piano o da una retta. Circonferenze, sfere, cilindri, coni e loro equazioni cartesiane nello spazio.

5. Spazi vettoriali: definizione di spazio vettoriale su un campo, esempi, proprietà; sottospazi, vettori linearmente indipendenti, sistemi di generatori, basi e dimensione di uno spazio vettoriale. Operazione con i sottospazi: intersezione, somma, teorema di Grassmann.

6. Applicazioni lineari: definizione, proprietà, nucleo e immagine di un'applicazione lineare, teorema di nullità più rango; matrice associata ad un'applicazione lineare mediante basi del dominio e del codominio, relazione tra le proprietà della matrice e le proprietà dell'applicazione. Isomorfismo tra lo spazio delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali e un opportuno spazio di matrici. Similitudine di matrici e proprietà delle matrici simili.

Al termine del primo semestre lo studente sarà in grado di svolgere calcoli mediante i numeri complessi e risolvere equazioni polinomiali mediante i numeri complessi. Sarà in grado di stabilire se un sistema lineare ha soluzioni, quante soluzioni ha, e determinare le soluzioni con esattezza. Saprà determinare alcune proprietà geometriche fondamentali di piani e rette (vettore direzionale, posizione reciproca), e potrà scrivere correttamente l'equazione di un piano, di una retta, di una sfera, di una circonferenza che soddisfino determinate proprietà. Sarà inoltre in misura di studiare una data matrice e stabilirne le principali proprietà (rango, determinante, invertibilità). Sarà in grado di calcolare la dimensione di uno spazio vettoriale, di stabilirne una base, di stabilire se una famiglia di vettori verifica determinate proprietà (indipendenza lineare, spazio generato), e di studiare le proprietà principali di un'applicazione lineare (nucleo, immagine, invertibilità) mediante l'uso delle matrici rappresentatrici e dei sistemi lineari. Sarà infine in grado di utilizzare correttamente il linguaggio dell'algebra lineare e determinare se una data affermazione dell'algebra lineare sia corretta o meno mediante l'uso di dimostrazioni e di controesempi.

MODALITA' DIDATTICHE

Tradizionale

PROGRAMMA/CONTENUTO

1. Numeri complessi

2. Matrici

3. Sistemi lineari

4. Geometria nello spazio

5. Spazi vettoriali

6. Applicazioni lineari

7. Diagonalizzazione e triangolazione

8. Spazi vettoriali euclidei

9. Isometrie e endomorfismi autoaggiunti

10. Coniche e quadriche

11. Spazi affini e proiettivi

TESTI/BIBLIOGRAFIA

A. Bernardi, A. Gimigliano: Algebra Lineare e Geometria Analitica, Città Studi Edizioni

E. Sernesi: Geometria vol. 1, Bollati-Boringhieri.

D. Gallarati: Appunti di Geometria, Di Stefano Editore-Genova.

F. Odetti, M. Raimondo: Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG Universitas.

M. Abate: Algebra Lineare, McGraw-Hill.

C. Ciliberto, Algebra Lineare, Bollati-Boringhieri

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Dal 23 settembre 2024 secondo l'orario riportato qui 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L'esame consiste in una parte scritta ed una orale.
L'esame scritto è superato se lo studente ha ottenuto un voto maggiore o uguale a 18. Per partecipare alla prova scritta occorre iscriversi almeno due giorni prima della data dell'esame sul sito https://servizionline.unige.it/studenti/esami/prenotazione. 

Durante il corso dell'anno si terranno anche due compitini (uno alla fine del primo semestre e uno alla fine del secondo semestre), che se superati sostituiscono la prova scritta. Il primo compitino è superato se il voto è maggiore o uguale a 16. Al secondo compitino può partecipare solo chi ha superato il primo compitino. I compitini sono superati se il voto ottenuto in entrambi è maggiore o uguale a 16, e la media dei due è maggiore o uguale a 18.

La prova orale deve essere sostenuta nell'appello della prova scritta, mentre chi accede alla prova orale avendo superato i compitini può svolgere la prova orale nell'appello di giugno o di luglio. Il voto finale è una media pesata dei risultati ottenuti nelle due prove. Se la prova orale è insufficiente la commissione si riserva la possibilità di annullare anche l'esame scritto.

Si consigliano gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il/la docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali e forniscano idonei strumenti compensativi.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Nella prova scritta viene richiesto allo studente di risolvere degli esercizi che riguardano tutto il programma del corso. La durata della prova è di tre ore. Gli studenti non possono consultare libri o appunti né utilizzare strumenti elettronici come calcolatrici, tablet, cellulari, smartwatch, ma viene consigliato di prepararsi un formulario con le formule e i risultati utili per lo svolgimento della prova. Per partecipare alla prova scritta è necessario iscriversi sul sito di UNIGE entro due giorni prima della data della prova. La prova scritta risulta sufficiente se ottiene una valutazione maggiore o uguale a 18/30. Sono in casi molto eccezionali la commissione d'esame si riserva la possibilità di abbassare tale soglia.

Sono previste due prove scritte intermedie che sostituiscono la prova scritta. La prima avverrà alla fine del primo semestre, e verrà richiesto di risolvere esercizi che riguardano tutto il programma del primo semestre del corso. La seconda avverrà alla fine del secondo semestre, e verrà richiesto di risolvere esercizi che riguardano tutto il programma del secondo semestre del corso. La durata delle singole prove è di tre ore. Gli studenti non possono consultare libri o appunti né utilizzare strumenti elettronici come calcolatrici, tablet, cellulari, smartwatch, ma viene consigliato di prepararsi un formulario con le formule e i risultati utili per lo svolgimento della prova. Per partecipare alle prove scritte intermedie è necessario iscriversi mediante appositi form di iscrizione presenti sulla pagina di AulaWeb del corso. La prima prova scritta intermedie risulta sufficiente se ottiene una valutazione maggiore o uguale a 16/30, ed è possibile partecipare alla seconda prova scritta intermedia solo se la prima è risultata sufficiente. Le due prove scritte intermedie si considerano superate, ed in questo caso sostituiscono la prova scritta, se entrambe hanno ottenuto una valutazione maggiore o uguale a 16/30, e la media delle due prove è maggiore o uguale a 18/30.

Nella prova orale, per gli studenti di Matematica e di Statistica Matematica e trattamento Informatico dei Dati si richiede di conoscere e di saper presentare le definizioni, gli enunciati e le dimostrazioni visti durante tutto il corso, di fornire esempi che illustrino le nozioni principali introdotte nel corso e di saper stabilire la verità o la falistà di affermazioni inerenti le nozioni principali del corso mediante l'uso di dimostrazioni o di controesempi. Per comprendere se lo studente è in grado di utilizzare gli strumenti dell'algebra lineare, verranno anche proposti degli esercizi. La prova orale deve essere sostenuta nell'appello della prova scritta, oppure negli appelli di giugno o di luglio per chi accede alla prova orale avendo superato le due prove scritte intermedie  Se la prova orale risulta insufficiente, evidenziando carenze fondamentali nella preparazione dello studente, la commissione si riserva di annullare anche la prova scritta