OVERVIEW

The course aims to present the most common partial differential equations (PDEs) and their solution techniques, emphasizing various applications. The focus is on second-order PDEs and understanding specific techniques for elliptic, parabolic, and hyperbolic cases. The module also provides students with knowledge of numerical methods for solving Civil Engineering problems. Lectures are supplemented by laboratory exercises using Matlab.

Il corso si propone di fornire strumenti utili per risolvere le principali equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE) attraverso l’analisi di varie applicazioni. L’enfasi è posta sulle PDE del secondo ordine e sulla comprensione delle tecniche specifiche per i casi ellittico, parabolico ed iperbolico. Il corso intende intende inoltre fornire allo studente conoscenze sui metodi numerici per la soluzione di problemi di Ingegneria Civile, implementati utilizzando Matlab.

AIMS AND CONTENT

LEARNING OUTCOMES

Il corso si propone di introdurre lo studio delle più comuni equazioni alle derivate parziali (PDEs) e delle loro tecniche di soluzione attraverso l'analisi di diverse applicazioni. L'enfasi è posta sulle PDEs del secondo ordine e sulla comprensione delle particolari tecniche analitiche per la risoluzione dei casi ellittici, parabolici e iperbolici. Il corso fornisce inoltre gli strumenti per risolvere problemi applicativi con metodi numerici implementati attraverso l'uso di Matlab.

AIMS AND LEARNING OUTCOMES

Active participation in lectures and individual study will enable students to:

- Classify the main types of partial differential equations.
- Calculate the analytical solutions of elliptic, parabolic, and hyperbolic partial differential equations.
- Apply techniques such as separation of variables, series expansion, and Fourier transforms, as well as special functions.
- Select the most appropriate numerical methods for solving problems requiring numerical resolution.
- Understand and mitigate numerical instabilities or lack of convergence.
- Implement these methods using Matlab, the world's most widely used scientific computing software.
- Utilize Matlab functions beyond those covered in the course and debug code effectively.

La partecipazione attiva alle lezioni frontali e lo studio individuale permetteranno allo studente di:
* saper classificare le principali equazioni alle derivate parziali;
* calcolare la soluzione analitica di equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico, parabolico e iperbolico;
* utilizzare le tecniche di separazione di variabili, serie e la trasformata di Fourier, funzioni speciali.
* scegliere il metodo numerico più adatto per risolvere alcuni problemi che richiedono una risoluzione numerica;
* comprendere perché possono apparire delle instabilità numeriche o la mancanza di convergenza e come evitare tali difficoltà;
* implementare tali metodi utilizzando Matlab, il software di calcolo scientifico più utilizzato nel mondo;
* essere in grado di utilizzare funzioni di Matlab diverse da quelle viste durante il corso e fare il debug del codice.

PREREQUISITES

Basics of calculus (suggested)

Basics of ODE and PDE theory (suggested)

Conoscenze preliminari di analisi
Conosocenze preliminari di teoria delle ODE e PDE

TEACHING METHODS

The module is based on theoretical lectures, supported for the part of numerical methods by exercises with the use of Matlab.

Working students and students with DSA certification, disabilities or other special educational needs are advised to contact the lecturer at the beginning of the course to agree on teaching and exam methods which, in compliance with the teaching objectives, take into account  individual learning methods.

Il modulo è basato su lezioni teoriche, affiancate per la parte di metodi numerici, da esercitazioni con l'utilizzazione di Matlab.
Si consigliano gli studenti lavoratori e gli studenti con certificazione di DSA, di disabilità o di altri bisogni educativi speciali di contattare il docente all’inizio del corso per concordare modalità didattiche e d’esame che, nel rispetto degli obiettivi dell’insegnamento, tengano conto delle modalità di apprendimento individuali.

SYLLABUS/CONTENT

The main topics covered in the course are listed below:

1. **Introduction to Partial Differential Equations (PDEs):**
   - The elastic string and the transition from discrete to continuous systems.
   - Second-order partial differential equations: classification and normal forms.
   - Elliptic, hyperbolic, and parabolic PDEs.

2. **Elliptic Equations:**
   - Harmonic functions.
   - Dirichlet and Neumann boundary conditions.
   - The Poisson formula for the circle.

3. **Separation of Variables Technique:**
   - Series expansion and Fourier transform.
   - The Gibbs effect.
   - Analysis of normal modes.
   - The Dirac delta function.
   - Bessel functions and problems in polar coordinates.

4. **Parabolic Differential Equations:**
   - Diffusion and heat equations.
   - Descriptions in space and time domains.

5. **Hyperbolic Equations:**
   - The equation of D'Alembert.
   - The method of characteristics.
   - The elastic membrane and the mechanical interpretation of normal modes.

6. **Higher-Order PDEs:**
   - The biharmonic equation and its Cauchy problem.
   - Vibrations of bars and plates.

7. **Non-Homogeneous PDEs and Green Functions**

8. **Matlab:**
   - Matrices and vectors.
   - 1D and 2D graphics.
   - Control structures and functions.
   - Creation of an app.

9. **Numerical Methods for Solving Equations and Nonlinear Systems**

10. **Polynomial Interpolation and Data Fitting:**
    - Least squares method.

11. **Numerical Resolution of Systems of Ordinary Differential Equations**

12. **Numerical Methods for Constrained and Unconstrained Optimization**

13. **Finite Difference Method for Solving Partial Differential Equations**

I principali argomenti trattati sono qui di seguito elencati:
1. Analisi di fenomeni e motivazioni che portano allo studio delle equazioni differenziali alle derivate parziali. La fune elastica e la transizione dai sistemi discreti ai sistemi continui.
2. Le equazioni differenziali del secondo ordine. La classificazione e la forma normale. Equazioni ellittiche, iperboliche e paraboliche.
3. Equazioni ellittiche. Proprietà delle funzioni armoniche; i problemi di Dirichlet e di Neumann, la formula di Poisson per il cerchio.
4. Le tecniche generali di soluzione separazione di variabili; la serie e la trasformata di Fourier; l'effetto Gibbs; l'analisi in modi normali; la “funzione” delta di Dirac; i casi bi-tridimensionale.
5. Le funzioni speciali: le funzioni di Bessel J,Y, I, K; le serie di Fourier Bessel e di Dini; le trasformate di Fourier in coordinate polari: la trasformata di Hankel . Applicazioni ai problemi in coordinate polari.
6. Le equazioni differenziali paraboliche; l'equazione della diffusione e del calore; descrizioni nel dominio dello spazio e del tempo; nucleo del calore.
7. Le equazioni di tipo iperbolico: l’equazione di D'Alembert, il metodo delle caratteristiche, la membrana elastica, l’interpretazione meccanico-dinamica dei modi normali; il problema di Cauchy e il dominio futuro di dipendenza.
8. PDE di ordine superiore: l'equazione biarmonica; il relativo problema di Cauchy.
9. Le equazioni non omogenee: le sorgenti distribuite e puntiformi; la funzione di Green e la sua interpretazione sistemistica come funzione di trasferimento; la descrizione con la funzione delta di Dirac.
10. I metodi numerici per la risoluzione di equazioni e sistemi non lineari.
11. L'interpolazione polinomiale, data fitting, metodo dei minimi quadrati.
12. La risoluzione numerica di sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
13. I metodi numerici per l’ottimizzazione vincolata e non vincolata.
14. Il metodo differenze finite per risolvere equazioni alle derivate parziali.

RECOMMENDED READING/BIBLIOGRAPHY

The notes taken during the lessons and the material provided (notes of the theoretical part and tutorial of Matlab) are sufficient for the preparation of the exam. The books listed below are suggested as possible support texts and in-depth study.

• A.N.Tichonov, A.A.Samarskij: Equazioni della Fisica matematica, Problemi della fisica matematica, Mosca,1982;
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Phisics vol I e II, Interscience, NY, 1973;
• R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, New York: McGraw-Hill, 1999;
• P. V. O’ Neil, Advanced engineering mathematica, Brooks Cole, 2003;
• H. Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna, 1985;
• V. I. Smirnov. Corso di Matematica superiore, Vol. 3. MIR (1978).
• Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, Sprinter-Verlag 2006.
• Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer-Verlag 2008.
• S. Chapra, R. Canale, Numerical methods for Engineers, McGraw-Hill, 2018.

Gli appunti presi durante le lezioni ed il materiale fornito (dispense della parte teorica e tutorial di Matlab) sono sufficienti per la preparazione dell’esame. I libri sotto indicati sono suggeriti come eventuali testi di appoggio ed approfondimento.
* A.N.Tichonov, A.A.Samarskij: Equazioni della Fisica matematica, Problemi della fisica matematica, Mosca,1982;
* R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Phisics vol I e II, Interscience, NY, 1973;
* R. Bracewell, The Fourier Transform and Its Applications, New York: McGraw-Hill, 1999;
* P. V. O’ Neil, Advanced engineering mathematica, Brooks Cole, 2003;
* H. Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, Bologna, 1985;
* V. I. Smirnov. Corso di Matematica superiore, Vol. 3. MIR (1978).
* Quarteroni, F. Saleri, Introduzione al Calcolo Scientifico, Sprinter-Verlag 2006.
* Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer-Verlag 2008.
* S. Chapra, R. Canale, Numerical methods for Engineers, McGraw-Hill, 2018

TEACHERS AND EXAM BOARD

Exam Board

PATRIZIA BAGNERINI (President)

EMANUELE ROSSI (President)

VINCENZO VITAGLIANO (President)

LESSONS

LESSONS START

https://corsi.unige.it/10799/p/studenti-orario

Class schedule

The timetable for this course is available here: Portale EasyAcademy

EXAMS

EXAM DESCRIPTION

The examination mode consists of an oral or written test to ensure learning of the course content.

La modalità di esame consiste in una verifica, scritta o orale, dell’apprendimento dei contenuti del corso.

ASSESSMENT METHODS

The written or oral exam focuses on the learning of a few subjects from those discussed in class. In the test, concerning the numerical part, is also required to perform a short application in Matlab (with the possibility of using the help). 

L'esame, scritto o orale, verte sull'approfondimento di alcuni argomenti tra quelli trattati a lezione. Nella prova viene anche richiesto per la parte numerica di svolgere una breve applicazione in Matlab (con la possibilità di utilizzare l’help),

Exam schedule