Le lezioni si tengono in lingua italiana o in lingua inglese, a scelta delle/gli studentesse/i. Il corso ha un forte carattere multidisciplinare, affrontando, in una prospettiva storica e critica, argomenti a cavallo tra la matematica e la filosofia, dall'Antichità fino al Novecento.
L’insegnamento si pone l’obiettivo di illustrare lo sviluppo storico-concettuale di alcuni temi centrali della matematica, sottolineando le connessioni con altri ambiti del sapere e invitando gli studenti a un ripensamento critico di varie nozioni matematiche di base.
Nel corso si illustrerà lo sviluppo del concetto di infinito matematico, a partire da Euclide e Archimede fino a Cantor, Dedekind, Hilbert, Russell, Brouwer e Gödel. Si discuteranno, oltre agli aspetti propriamente matematici (p.e. il cosiddetto metodo di esaustione, l'emergere del calcolo differenziale, l'evoluzione della teoria degli insiemi e i suoi "paradossi"), anche varie questioni di carattere più propriamente filosofico (p.e. l'idea di infinito in Leibniz, Hegel e Bolzano),
Il corso è impostato in modo tradizionale (in presenza).
Programma
1. Il problema dell’infinito matematico: introduzione al corso
2. Aristotele: la concezione di infinito potenziale e la categoria della quantità. Numeri e grandezze continue; l’idea di incommensurabilità tra grandezze continue nella matematica greca.
3. Gli Elementi di Euclide: struttura generale, “termini”, “postulati” e “nozioni comuni”. Teoria dei rapporti tra grandezze continue (Libro V); il procedimento dell’anthyphairesis. . Numeri primi e numeri perfetti (Libro IX). La determinazione del volume della piramide (Libro XII) e il cosiddetto metodo di esaustione
4. L’opera di Archimede nel panorama della scienza ellenistica. I metodi indiretti per i processi infiniti: Dimensio circuli, Quadratura parabolae. Arenarius. Il Metodo; quadratura della parabola mediante una bilancia ideale.
5. L’emergere del concetto di zero e l’algebra indiana (Brahmagupta).
6. Lo sviluppo della matematica nella civiltà islamica. L’algebra di al-Khwārizmī. I metodi infinitesimali (al-Kindī, Banū Mūsā, Thābit ibn-Qurra, (ibn al-Haytham).
7. Infinito e continuità nel pensiero medievale occidentale. La controversia sull’eternità del mondo e il paradosso degli infiniti disuguali. I calculatores di Oxford. Infinito categorematico e sincategorematico.
8. La discussione sul concetto di infinito nei Discorsi e dimostrazioni matematiche di Galileo.
9. Tradizione e rinnovamento nella matematica del Rinascimento. I metodi di quadratura di Kepler. La geometria degli indivisibili di Cavalieri e Torricelli. I logaritmi e la quadratura dell’iperbole.
10. Il problema delle tangenti in Descartes, Fermat e Pascal. I “due infiniti” di Pascal.
11. Wallis e Barrow. Newton: fluenti e flussioni; metodo di inversione delle serie; la nozione di infinitesimo; metodo delle primae et ultimae rationes; il calculus nei Principia. Il calcolo differenziale di Leibniz; il problema dell’infinito e il “labirinto del continuo” nella sua filosofia.
12. Euler: l’infinito e le serie divergenti. Il problema dei fondamenti dell’analisi da d’Alembert a Cauchy. Le osservazioni di Hegel sull’infinito matematico.
13. Bernard Bolzano; Wissenschaftslehre e Paradoxien des Unendlichen
14. Richard Dedekind: Stetigkeit und irrationale Zahlen; Was sind und was sollen die Zahlen?
15. Georg Cantor: la nozione di “potenza”; Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (1879-1884) e la teoria degli ordinali; Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre (1892); Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, I-II (1895-1897); l’ipotesi del continuo.
16. L’opera di Frege. I paradossi di Burali-Forti e di Russell. Il principio del buon ordinamento e l’assioma di scelta (Zermelo, 1904 e 1908). L’assiomatizzazione della teoria degli insiemi.
17. Il “programma” di Hilbert. Il teorema di Löwenheim-Skolem. L’intuizionismo di Brouwer. I teoremi di incompletezza di Gödel. Turing e la questione della computabilità.
18. Conclusioni e prospettive aperte.
La maggior parte dei testi discussi a lezione e vari altri materiali saranno messi a disposizione degli studenti sul sito Aulaweb.
Si segnalano inoltre le seguenti opere:
- F. Acerbi, Il silenzio delle sirene. La matematica greca antica, Carocci, Roma 2010
- C. Bartocci, Una piramide di problemi. Storie di geometria da Gauss a Hilbert, Raffaello Cortina, Milano 2012.
- C. Bartocci & P. Odifreddi (a cura di). La matematica, vol. I. I luoghi e i tempi, Einaudi, Torino 2007.
- J. W. Dauben, Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Princeton University Press, Princeton 1990.
- J. Ferreirós, Labyrinth of Thought. A History of Set Theory and its Role in Modern Mathematics, second rev. ed., Birkhäuser, Boston-Basel-Boston 2007.
- I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940, Princeton University Press 2000.
- G. Lolli, La guerra dei trent’anni (1900-1930). Da Hilbert a Gödel, Edizioni ETS, Pisa 2011.
Ricevimento: Su appuntamento (email: bartocci@dima.unige.it)
CLAUDIO BARTOCCI (Presidente)
MARIA CRISTINA AMORETTI
MARCELLO FRIXIONE (Supplente)
II semestre 2025
La prova d’esame consiste nella preparazione ed esposizione di un “seminario” su un argomento specifico scelto dal/-la candidato/a in accordo con il docente (quest’ultimo provvederà a fornire tutti i materiali di studio necessari).
La valutazione terrà conto della qualità generale della presentazione e della capacità dello studente di rispondere a 2 domande riguardanti il tema del seminario.
Pagina Web dell’insegnamento: http://www.dima.unige.it/~bartocci/csm13/csm13.html
Modalità di frequenza: Consigliata
