PRESENTAZIONE

L'insegnamento introduce lo studente alla teoria delle catene di Markov, sia a tempi discreti che continui, con particolare riguardo ai Processi di Poisson e alla teoria delle code, sviluppando le competenze essenziali per modellare a analizzare problemi concreti di evoluzione stocastica.

L'insegnamento contribuisce al raggiungimento degli obiettivi 4 e 5 di Sviluppo Sostenibile dell'Agenda ONU 2030.

OBIETTIVI E CONTENUTI

OBIETTIVI FORMATIVI

Introdurre le catene di Markov e altri semplici processi stocastici per modellare e risolvere problemi reali di evoluzione stocastica.

OBIETTIVI FORMATIVI (DETTAGLIO) E RISULTATI DI APPRENDIMENTO

L'obiettivo è quello di far apprendere agli studenti/alle studentesse il linguaggio matematico delle catene di Markov, in modo che possano essere capaci di costruire un modello appropriato per problemi reali di evoluzioni stocastiche markoviane a valori in un insieme finito o numerabile (detto insieme degli stati).

Al termine dell'insegnamento lo studente/la studentessa sarà in grado di:                                                                          -conoscere la teoria generale delle catene di Makov sia a tempo discreto che continuo.

-saper esporre in modo corretto definizioni, enunciati e dimostrazioni e produrre relativi esempi e controesempi.              -tradurre nel linguaggio delle catene di Markov alcune situazioni riguardanti la teoria delle code ed essere in grado di studiare l'efficienza del modello.                                                                                

PREREQUISITI

Calcolo delle Probabilità.

Maggiori dettagli sulla pagina Aulaweb dell'insegnamento relativa all'anno accademico in corso.

MODALITA' DIDATTICHE

L'insegnamento si svolge in maniera tradizionale, con lezioni frontali di teoria ed esercizi tenute dal docente alla lavagna.                                                                                                                                                          

Durante il periodo delle lezioni verranno fatte due esercitazioni guidate (una a metà e l'altra alla fine) per dare agli/alle studenti la possibilità di capire il loro grado di preparazione e chiarire insieme eventiali dubbi.

La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma fortemente consigliata.

PROGRAMMA/CONTENUTO

Catene di Markov a tempo discreto.  Classificazione di stati. Criteri per la transienza e la ricorrenza. Probabilità e tempo medio di assorbimento nelle classi ricorrenti. Leggi invarianti. Teoremi limite. Convergenza verso leggi invarianti.                            

Catene di Markov a tempo continuo. Matrice dei tassi ed equazioni di Chapman-Kolmogorov. Tempo della prima uscita da uno stato della catena, leggi invarianti, catena dei salti, catene di nascita e morte, processo di Poisson.

Cenni alla teoria delle code. Code M/M/k: modellizzazione, stazionarietà, numero medio di clienti nel sistema, tempo medio di permanenza nel sistema. Esempi di code M/M/k/0.

TESTI/BIBLIOGRAFIA

P. Baldi, Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica

W. Feller, An introduction to Probability Theory and its Applications

S. Karlin, H.M. Taylor, A First Course in Stochastic Processes.

S. Karlin, H.M. Taylor, A Second Course in Stochastic Processes.

S.M. Ross, Introduction to Probability Models.

G. Grimmett, D. Stirzaker, (2001). Probability and Random Processes. 

J.R. Norris. Markov Chains.

P. Brémaud. Markov Chains: Gibbs Fields, Montecarlo Simulation, and Queues.

Dispense.

In generale, gli appunti presi durante le lezioni e il materiale su aulaweb sono sufficienti per la preparazione dell'esame.

DOCENTI E COMMISSIONI

LEZIONI

INIZIO LEZIONI

Secondo l'orario riportato al link https://corsi.unige.it/corsi/11900/studenti-orario 

Orari delle lezioni

L'orario di questo insegnamento è consultabile all'indirizzo: Portale EasyAcademy

ESAMI

MODALITA' D'ESAME

L’esame si compone di una parte scritta e una orale.

Per partecipare alla prova scritta bisogna iscriversi sul sito UNIGE (https://servizionline.unige.it/studenti/esami/prenotazione).

La prova scritta prevede 2 esercizi, uno sulla parte discreta a l'altro su quella continua, ognuno con 6 domande. La durata della prova è di 3 ore ed è possibile consultare gli appunti del corso (compresi gli esercizi svolti in aula) e le dispense. Riportando una votazione maggiore o uguale a 18 si può accedere alla prova orale.                                         

La prova orale verte sull'esposizione di argomenti teorici, dimostrazioni ed esercizi. In aggiunta, agli studenti/alle studentesse della LM in Matematica verrà chiesta una dimostrazione tra quelle non svolte a lezione ma segnalate dal docente (su Aulaweb).

La prova orale può essere sostenuta sia nello stesso appello dello scritto che in una sessione d'esame successiva. La prova scritta verrà ritenuta valida fino all’appello del mese di settembre dell’anno accademico in cui è stata sostenuta. Dopo tale data, lo/la studente dovrà ripetere la prova scritta. 

Saranno disponibili 2 appelli di esame per la sessione invernale (gennaio-febbraio) e 3 appelli per quella estiva (giugno, luglio e settembre). Per gli/le studenti di Smid è previsto anche un appello verso la metà dicembre. Non verranno concessi appelli straordinari al di fuori di quelli indicati nel regolamento del Corso di Studio, fatta eccezione per coloro che sono fuori corso.

MODALITA' DI ACCERTAMENTO

Le prove servono a valutare l'apprendimento e la comprensione generale degli argomenti trattati, e la capacità di applicare tali concetti. A tal fine, nella prova scritta si richiede di giustificare in modo chiaro quanto scritto.                      Durante la prova orale si valuta l'esposizione appropriata della teoria vista a lezione, la capacità di ragionare e dimostrare i principali risultati ottenuti, di svolgere gli esercizi proposti e di saper trovare esempi e controesempi.

il voto scritto serve come base per il punteggio finale, e viene corretto dalla performance orale, sia in positivo che negativo.

ALTRE INFORMAZIONI

Su richiesta degli studenti, le lezioni e/o l'esame possono essere svolti in inglese.

Rivolgersi al docente per ulteriori informazioni non comprese nella scheda insegnamento.

Strumenti compensativi e misure dispensative

Disabilità/Invalidità/Disturbo Specifico dell'Apprendimento

Le misure dispensative e gli strumenti compensativi servono a mettere gli studenti in condizione di raggiungere gli stessi obiettivi di apprendimento dei compagni di studio, non a facilitare l'esame.

L’utilizzo di strumenti compensativi e l’applicazione di misure dispensative devono essere preventivamente autorizzati dal Docente titolare dell'insegnamento in accordo con il Referente.

Per usufruire degli adattamenti in sede di esame compila il Modulo per la richiesta di adattamenti; la richiesta verrà inviata automaticamente dal sistema al docente titolare dell’insegnamento, al Referente della tua Scuola/Area/Dipartimento e in copia conoscenza al Settore; inoltre anche tu riceverai copia della richiesta inviata tramite e-mail.

Gli adattamenti di cui gli studenti possono usufruire sono i seguenti:

• Tempo aggiuntivo (+30% DSA)
• Tempo aggiuntivo (+50% disabilità/invalidità)
• Tempo aggiuntivo durante le prove orali per organizzare la risposta
• Calcolatrice (non sono ammesse calcolatrici programmabili e grafiche)
• Mappe concettuali
• Tabelle e/o Formulari
• Sostenere l'esame in forma scritta
• Sostenere l'esame in forma orale
• Tutor lettore (solo per prove scritte)
• Tutor scrittore (solo per prove scritte)

La richiesta di adattamenti deve essere inoltrata tassativamente almeno 7 giorni lavorativi prima della data prevista per l’esame.

Ulteriori informazioni al link: Servizi per studentesse e studenti con disabilità o con DSA | UniGe | Università di Genova

Referente per l'inclusione: Sergio Di Domizio - sergio.didomizio@unige.it